Einfache Frage zum Goedelschen Unvollständigkeitssatz

16/04/2011 - 13:17 von carlox | Report spam
Hallo allerseits,
1)
Der Gödelsche Unvollstàndigkeitssatz (GUS) sagt

(http://www.uni-protokolle.de/Lexiko...ssatz.html)
"Jedes Beweissystem für die Menge der wahren arithmetischen Formeln
ist unvollstàndig (sofern man voraussetzt dass die Arithmetik
widerspruchsfrei ist . Das heißt:
In jeder formalen Theorie welche mindestens so màchtig wie die Theorie
der natürlichen Zahlen ( Peano-Arithmetik ) ist bleiben wahre (und
falsche) arithmetische Formeln übrig die nicht innerhalb der Theorie
beweisbar (widerlegbar) sind.
Also:
Nicht jeder wahre mathematische Satz kann aus den wie auch immer
gewàhlten Axiomen eines mathematischen Teilgebietes (z. B. Arithmetik
Geometrie Algebra etc.) formal abgeleitet werden".

2)
Eine andere Formulierung (Uwe Schöning S.178 Ideen der Informatik):
"Es gibt keinen Beweiskalkül, in dem genau die wahren Sàtze der
Zahlentheorie (nàmlich Th(N,*,+) ) ableitbar sind."

3) (Mein Problem):
Das verstehe ich nicht:
Die wahren Sàtze der Zahlentheorie sind doch per Definition die Sàtze,
die sich aus ZFC beweisen lassen.
Damit kann ich aber ein Beweissystem angeben (nàmlich ZFC), in dem die
wahren Sàtze ableitbar sind.
Wo ist mein Denkfehler ?

mfg
Ernst
 

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#1 Martin Vaeth
16/04/2011 - 15:38 | Warnen spam
Ernst Baumann schrieb:

Die wahren Sàtze der Zahlentheorie sind doch per Definition die Sàtze,
die sich aus ZFC beweisen lassen.
[...[
Wo ist mein Denkfehler ?



In diesem "per Definition".
Wahrheit von Aussagen ist *nicht* definiert als "beweisbar in ZFC".
Was beweisbar ist in ZFC ist zwar wahr^1, aber nicht umgekehrt.

^1 Im Sine des Modells, das wohl die meisten Leute von den natuerlichen
Zahlen haben. Man muss da etwas vorsichtig sein, da man natuerlich kein
Modell der Arithmetik in seiner Ganzheit kennt. Es gibt auch Bestrebungen,
weniger maechtige Systeme als ZFC zugrunde zu legen.

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