Einfacher Beweis ...

15/04/2013 - 08:24 von Udo | Report spam
Hallo,

ich habe am Wochenende ein wenig in Beutelspachers nettem kleinen Buch: "Das ist o.B.d.A. trivial" gelesen und bin hinten auf eine kleine Aufgabe gestoßen, von der der Autor sagt, das sei "leicht" zu beweisen.

Aufgabe: Beweise, dass für jede reelle Zahl n gilt, dass ihr Quadrat n^2 nicht negativ ist.
Dieser Beweis sei einfach zu führen.

Hm ... wenn Mathematiker sagen das sei "leicht" oder "sofort zu sehen" ...:-)

Ich habe zunàchst eine Fallunterscheidung gemacht:
Fall 1: n >=0: Wenn die Zahl positiv ist, ist das Quadrat ebenfalls positiv - OK.
Fall 2: n < 0 :Wenn die Zahl negativ ist, gilt "minus mal minus = plus", das Quadrat einer negativen Zahl ist also ebenfalls positiv.
Aber: woher kommt diese altvertraute Rechenregel? Die muss ich doch eigentlich auch beweisen?

Zwei Fragen:
a) Woher kommt eigentlich "minus mal minus = plus"? Aus den Körperaxiomen von |R kann ich das nicht ableiten. Oder doch?
b) Wie funktioniert mathematisch korrekt der "einfache Beweis", von dem Beutelspacher spricht und der so trivial sein muss, dass er es nicht für notwendig hàlt, ihn zu skizzieren?

(Falls die Frage als simpel angesehen wird, bitte ich um Nachsicht - meine Schulzeit liegt schon einige Jahrzente zurück und ich bin kein Mathematiker).

Danke und Freundliche Grüße
Udo
 

Lesen sie die antworten

#1 Jens Voß
15/04/2013 - 10:03 | Warnen spam
On 15 Apr., 08:24, Udo wrote:
Zwei Fragen:
a) Woher kommt eigentlich "minus mal minus = plus"? Aus den Körperaxiomen von |R kann ich das nicht ableiten. Oder doch?



Dass (-a) * (-b) = a * b ist (für alle a, b, in |R), folgt in der Tat
aus den Körperaxiomen.

b) Wie funktioniert mathematisch korrekt der "einfache Beweis", von dem Beutelspacher spricht und der so trivial sein muss, dass er es nicht für notwendig hàlt, ihn zu skizzieren?



Bei Beutelspacher ist von "negativ" die Rede; der Begriff ergibt in
beliebigen Körpern gar keinen Sinn, sondern nur dann, wenn zusàtzlich
zur Körperstruktur auch noch eine Ordnungsstruktur vorliegt; bei |R
ist das der Fall. Und der Beweis von Beutelspacher folgt dann auch
relativ einfach aus den Ordnungsaxiomen.

Gruß,
Jens

Ähnliche fragen