einfaches arithmetisches Mittel - ganz schoen schwierig!

21/01/2013 - 17:44 von ram | Report spam
Es ist ganz schön schwierig, die intuitive Vorstellung eines
Mittelwertes auch in Restklassenringen richtig zu formulieren!

Wenn jemand an einem Tag um 23.59 und am anderen um 00.01 zu
Bett gegangen ist, dann wird die naive Berechnung mit
(a+b)/2 ergeben, daß er an beiden Tagen im Mittel um 12.00
Uhr zu Bett ging!

Verwendet man statt dessen ([a+0,5]+[b+0,5])/2-0,5, so
können wir nun zwar solche Mittelwerte richtig berechnen,
die in der Nàhe der Mitternacht liegen, aber es gibt das
Problem nun bei Einschlafzeiten in der Gegend um 12.00
(nehmen wir an, es gehe um Schichtarbeiter). (Bei dem
Term wurde als Zeiteinheit der Tag 1d gewàhlt, 1d$h.)

Ein Mensch kann den Mittelwert von 23.59 und 00.01 sowie von
11.59 und 12.01 natürlich in beiden Fàllen intuitiv richtig
berechnen. Was fehlt also in der Formel noch?

Man könnte von allen Mittelwerten m(i):=([a+i]+[b+i])/2-i
denjenigen wàhlen, bei dem die Summe der Abstànde¹
|a-m(i)|+|b-m(i)| minimal ist. Dies ließe sich vielleicht
gleich als Definition des Mittelwerts in solchen
Restklassenringen verwenden, die auch auf mehr als zwei
Werte angewendet werden kann. (Dann braucht man die noch am
Anfang dieses Absatzes angegebene Definition nicht mehr,
weil sie durch die neue ersetzt ist.)

Dabei ist der Abstand auf dem Uhrkreisring die Lànge des
kürzesten ganz auf dem Uhrkreisring liegenden (einfach
zusammenhàngenden) Teilkreisrings, welcher zwei Zeitpunkte
(des Stundenzeigers) verbindet (also entweder im
Uhrzeigersinn oder dagegen - je nachdem, was kürzer ist).

Nur wàre es natürlich schön, wenn ich dies Excel als
geschlossenen Term mitteilen könnte, damit Excel den
Mittelwert von zwei Tageszeiten (wie beispielswese
23.59 und 0.01 Uhr) oder von n Tageszeiten berechnen
kann, ohne daß dies nur in der Nàhe einer willkürlich
gewàhlten Uhrzeit richtig gelingt.

¹) Oder sollte man die Summe der Abstands/quadrate/
minimieren?
 

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#1 Detlef Müller
21/01/2013 - 18:51 | Warnen spam
Am 21.01.2013 17:44, schrieb Stefan Ram:
Es ist ganz schön schwierig, die intuitive Vorstellung eines
Mittelwertes auch in Restklassenringen richtig zu formulieren!

Wenn jemand an einem Tag um 23.59 und am anderen um 00.01 zu
Bett gegangen ist, dann wird die naive Berechnung mit
(a+b)/2 ergeben, daß er an beiden Tagen im Mittel um 12.00
Uhr zu Bett ging!

Verwendet man statt dessen ([a+0,5]+[b+0,5])/2-0,5,



vermutlich interpretiere ich die Symbole nicht richtig ...
so wie ich es interpretiere wàre das Mittel von
23.00 und 00.01 immer noch nicht überzeugend.
Ist 0,5 (Halbe Periodenlànge)?

so
können wir nun zwar solche Mittelwerte richtig berechnen,
die in der Nàhe der Mitternacht liegen, aber es gibt das
Problem nun bei Einschlafzeiten in der Gegend um 12.00
(nehmen wir an, es gehe um Schichtarbeiter). (Bei dem
Term wurde als Zeiteinheit der Tag 1d gewàhlt, 1d$h.)

Ein Mensch kann den Mittelwert von 23.59 und 00.01 sowie von
11.59 und 12.01 natürlich in beiden Fàllen intuitiv richtig
berechnen. Was fehlt also in der Formel noch?



"Intuitiv" würde ich den "kürzesten" Abstand zum Mitteln nehmen,
wie Du es weiter unten vorschlàgst.
Aber wohl würde ich mich nicht dabei fühlen, als Mittel zwischen
12.02 und 00.00 den Zeitpunkt 18:01 anzugeben und als
Mittel zwischen 11.58 und 00.00 dann 05.59 ... nicht auszudenken
jemand sagte mir die Zeiten 12:00 und 00:00 :)

Man könnte von allen Mittelwerten m(i):=([a+i]+[b+i])/2-i
denjenigen wàhlen, bei dem die Summe der Abstànde¹
|a-m(i)|+|b-m(i)| minimal ist. ...



Ich vermute es làuft für a<b auf den Vergleich der Werte b-a
und a+24-b hinaus (so herum oder anders herum gehen).

Dies ließe sich vielleicht
gleich als Definition des Mittelwerts in solchen
Restklassenringen verwenden, die auch auf mehr als zwei
Werte angewendet werden kann. (Dann braucht man die noch am
Anfang dieses Absatzes angegebene Definition nicht mehr,
weil sie durch die neue ersetzt ist.)



Das wird spàtestens haarig, wenn die Zeiten "gleichmàßig
aufgefàchert" liegen (03:00, 15:00 oder 00:00, 08:00,
16:00).

Was für Eigenschaften wünscht man sich von einem
Mittelwert von Zeiten t[1],...,t[n]?

Vermutlich sucht man eine Zahl t mit
summe_i |d(t,t[i])| ist minimal (d=Kürzester Abstand auf dem
Kreis).

Holzhammermethode wàre einfach alle t durchzutesten (auf die
Minute genau auf dem Rechner sicher ohne merkliche Rechenzeit
machbar) - sollte aber auch vernünftig gehen.


Dabei ist der Abstand auf dem Uhrkreisring die Lànge des
kürzesten ganz auf dem Uhrkreisring liegenden (einfach
zusammenhàngenden) Teilkreisrings, welcher zwei Zeitpunkte
(des Stundenzeigers) verbindet (also entweder im
Uhrzeigersinn oder dagegen - je nachdem, was kürzer ist).

Nur wàre es natürlich schön, wenn ich dies Excel als
geschlossenen Term mitteilen könnte, damit Excel den
Mittelwert von zwei Tageszeiten (wie beispielswese
23.59 und 0.01 Uhr) oder von n Tageszeiten berechnen
kann, ohne daß dies nur in der Nàhe einer willkürlich
gewàhlten Uhrzeit richtig gelingt.



Da gibt es doch sicher ein schönes IF(...)-Konstrukt,
das man zwar mit gruseligen sgnum()- und abs()-Basteleien
zu einer "pseudo-geschlossenen" Form bringen kann aber nur
wenn man sich in der Firma unersetzbar machen will (wer
anders steigt da niemals durch).

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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