Einfaches geometrisches Knobelproblem

18/04/2011 - 17:42 von Steffen Schuler | Report spam
Problem: Wieviele Kurven gibt es in der euklidischen Ebene (bzw.
dem dreidimensionalen euklidischen Raum)?

Bemerkung: Gefragt ist die genaue (transfinite) Kardinalitaet der Menge dieser
Kurven zusammen mit einer Beweisskizze.

Benoetigtes Wissen sind Grundkonzepte der
1. (naiven) Mengentheorie und der transfiniten Kardinalzahlen,
2. euklidischen und analytischen Geometrie,
3. (mehrdimensionalen) reellen Analysis.

Angenommen seien die grundlegenden Axiome, (Postulate,) Definitionen der
euklidischen Geometrie nach (Euklid, Pasch, F. Klein und) Hilbert mit
einem geeigneten Vollstaendigkeitspostulat: Die betreffende euklidische Ebene
(bzw. der dreidimensionale euklidische Raum) ist archimedisch und es gilt
das Cantorsche Vollstaendigkeitsprinzip bzgl. der Schachtelung von Strecken
[d.h. der Schnitt jeder abzaehlbaren Kette von Strecken enthaelt (mindestens)
einen Punkt].

Kurven seien (naiv) "zusammenhaengende, stetige Trajektorien (Flugbahnen) von
Punkten".

Wenn Interesse besteht, poste ich morgen meine Loesung.

Viel Spass beim Knobeln.

Gruss/Sincerely,

Steffen Schuler
 

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#1 Steffen Schuler
19/04/2011 - 00:16 | Warnen spam
Steffen Schuler schrieb:
Problem: Wieviele Kurven gibt es in der euklidischen Ebene (bzw.
dem dreidimensionalen euklidischen Raum)?
[...]



O.B.d.A. betrachten wir im folgenden nur den dreidimensionalen
euklidischen Raum.

Antwort: Es gibt genau $2^{\aleph_0}$ verschiedene Kurven im euklidischen Raum.

Begruendung:

Lemma 1. Es gibt mindestens $2^{\aleph_0}$ verschiedene Kurven im
euklidischen Raum.
Beweis. Wir legen ein (orthogonales) kartesisches Koordinatensystem im
euklidischen Raum fest. So koennen wir jedem Punkt $A$ eineindeutig
das Tripel $(x,y,z)$ seiner reellen Koordinaten zuordnen.
Klar ist, dass wir fuer jede positive, reelle Zahl $r$ eineindeutig einen
Kreis um den Ursprung mit Radius $r$ in einer festgewaehlten durch zwei
Koordinatenachsen aufgespannten Ebene zeichnen koennen.
Offensichtlich ist jeder Kreis eine Kurve. Daher gibt es mindestens soviele
Kurven im euklidischen Raum, wie es positive reelle Zahlen gibt; es gibt aber
genau $2^{\aleph_0}$-viele verschiedene, positive, reelle Zahlen.
Daher muss es mindestens $2^{\aleph_0}$-viele verschiedene Kurven im
euklidischen Raum geben.
Q.E.D.

Lemma 2. Es gibt hoechstens $2^{\aleph_0}$ verschiedene Kurven im euklidischen
Raum.
Beweis. Wir legen wie im Beweis von Lemma 1 ein kartesisches Koordinatensystem
im euklidischen Raum fest. Wir koennen jede euklidische Kurve analytisch mit
der Bildmenge einer stetigen Funktion von einem reellem Intervall nach dem
$\Bbb{R}^3$ identifizieren. Wir koennen dabei offensichtlich sogar zwei feste
rationale Zahlen $a < b$ waehlen und uns auf die Intervalle mit den Grenzen
$a$ und $b$ beschraenken. Offensichtlich laesst sich jede solche stetige
Funktion $f: I \longrightarrow \Bbb{R}^3$ aufgrund ihrer Stetigkeit und der
Rationalitaet von $a$ und $b$ eineindeutig durch ihre Einschraenkung
$f|(I \cap \Bbb{Q})$ auf die rationalen Zahlen in ihrem Definitionsbereich
bestimmen.

(Wegen der Rationalitaet der Grenzen muessen fuer zwei gleiche (von ihren
Definitionsbereichen $I$ und $I'$ auf $I \cap \Bbb{Q}$ bzw. $I' \cap \Bbb{Q}$)
eingeschraenkte Funktionen auch vor der Einschraenkung gleiche
Definitionsbereiche $I = I'$ haben.

Man betrachte nun einen von 0 verschiedenen Wert der Differenz zweier
verschiedener solcher Funktionen $f$ und $g$ an einer Stelle $x \in I$ bzgl.
ihrem gleichen Definitionsbereichs $I$. Dann ist die Differenzfunktion
aufgrund ihrer Stetigkeit im Schnitt $U_{\epsilon}(x) \cap I$ einer Umgebung
$U_{\epsilon}(x)$ von $x$ mit ihrem Definitionsbereich $I$ von 0 verschieden.
Aber ein solcher Schnitt muss auch eine rationale Zahl enthalten, da $\Bbb{Q}$
dicht in $\Bbb{R}$ ist. Daher sind auch die Einschraenkungen der
Einzelfunktionen auf den Schnitt ihres gemeinsamen Definitionsbereichs $I$ mit
der Menge $\Bbb{Q}$ der rationalen Zahlen verschieden. Folglich ist die
Abbildung, die jede solche Funktion auf die rationalen Zahlen in $I$
einschraenkt, eineindeutig.)

Daher gibt es hoechstens

\begin{equation}
$4 \cdot \card (\Bbb{R}^3)^{\aleph_0}
= (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}
= 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0}
= 2^{\aleph_0}$
\end{equation}

viele verschiedene solche Funktionen. (Der Faktor 4 stammt von den 4 vier
moeglichen verschiedenen Intervallen $(a,b)$, $\[a,b\]$, $(a,b\]$ und
$\[a,b)$).
Q.E.D.

Theorem. Es gibt genau $2^{\aleph_0}$ verschiedene Kurven im euklidischen Raum.
Beweis. Aus Lemma 1 und Lemma 2 folgt mit dem Satz von Schroeder-Bernstein,
dass es genau $2^{\aleph_0}$ verschiedene Kurven im euklidischen Raum gibt.
Q.E.D.


Gruss/Sincerely

Steffen Schuler

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