einfaches unendliches Produkt?

25/10/2009 - 10:45 von Ralf Goertz | Report spam
Hi,

nachdem ich im Studium die Analysis ein bisschen stiefmütterlich
behandelt habe, wollte ich jetzt noch mal ganz von vorn anfangen und
scheitere schon beim Forster Ana 1, S. 39, Aufgabe 4.4:

Man berechne das unendliche Produkt Prod_{n=2}^{\infty} (n^3-1)/(n^3+1).

Seit drei Tagen suche ich vergeblich nach einem brauchbaren Ansatz. Klar
ist, dass sowohl Zàhler als auch Nenner reduzibel sind:

(n^3-1)=(n-1)(n^2+n+1) und (n^3+1)=(n+1)(n^2-n+1)

Damit làsst sich einiges kürzen bei der Produktbildung. Aber was dann?
Ich habe Mupad befragt, dass hat mir einen langen Term mit vielen
Gamma-Funktionen ausgespuckt. Also scheint es auch keine einfache Lösung
zu haben. Immerhin konnte ich mit float(%) herausfinden, dass die Lösung
wohl 2/3 ist.
 

Lesen sie die antworten

#1 Frank Buss
25/10/2009 - 10:58 | Warnen spam
Ralf Goertz wrote:

Damit làsst sich einiges kürzen bei der Produktbildung. Aber was dann?
Ich habe Mupad befragt, dass hat mir einen langen Term mit vielen
Gamma-Funktionen ausgespuckt. Also scheint es auch keine einfache Lösung
zu haben. Immerhin konnte ich mit float(%) herausfinden, dass die Lösung
wohl 2/3 ist.



Ich könnte es auch nicht ausrechnen, aber Mathematica liefert für
Product[(n^3 - 1)/(n^3 + 1), {n, 2, Infinity}] als exaktes Resultat 2/3,
ganz ohne Gamma-Funktionen, scheint also richtig zu sein.

Mein naiver Ansatz wàre, numerisch einen passenden Wert zu erraten und dann
per vollstàndiger Induktion zu beweisen. Sowas geht natürlich nicht wàhrend
einer Mathe-Klausur und man lernt dabei auch nichts.

Frank Buss,
http://www.frank-buss.de, http://www.it4-systems.de

Ähnliche fragen