Elektrostatik: Eine Lösung der Poisson-Gleichung

02/02/2008 - 23:13 von Patrick Reinecke | Report spam
Hallo allerseits,
ich hab da ein Problem, und hoffe ihr könnt mir helfen:
Es soll gezeigt werden, dass folgendes Skalarpotential (Elektrostatik) eine
Lösung der Poisson-Gleichung darstellt:

Phi(x) = (4 PI Eps)^-1 * INT{V}( Rho(x') / |x-x'|) d^3x'

Da der Integrand nach Anwendung des Laplace-Operators singulàr ist, addieren
wir im Betrag noch a hinzu, das wir spàter gegen Null gehen lassen:

Phi,a(x) = (4 PI Eps)^-1 * INT{V}( Rho(x') / ((x-x')^2 + a^2)^(1/2) )d^3x'

Anwendung des Laplace-Operators (mit r = |x - x'| ) :

Laplace( Phi,a(x) ) = - (4 PI Eps)^-1 * INT( Rho(x') * [3a^2 / (r^2 +
a^2)^(5/2)] )d^3x'

Wenn ich jetzt den Raum in zwei Gebiete einteile (eine Kugel um x mit dem
Radius R und alles außerhalb dieser Kugel: das Integral verschwindet dort),
und dann eine Taylor-Entwicklung um x' = x mache, soll angeblich das
Folgende dabei heraus kommen, nur wie?:

Laplace( Phi,a(x) = -(1/Eps) * INT{0,R}([3a^2 / (r^2 + a^2)^(5/2)] *[Rho(x)
+ r^2/6*Laplace(Rho) + ...] r^2) dr + O(a^2)

Wàre großartig, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank und Grüße
Patrick
 

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#1 Daniel
05/02/2008 - 11:05 | Warnen spam
On 2 Feb., 23:13, "Patrick Reinecke" wrote:
Hallo allerseits,
ich hab da ein Problem, und hoffe ihr könnt mir helfen:
Es soll gezeigt werden, dass folgendes Skalarpotential (Elektrostatik) eine
Lösung der Poisson-Gleichung darstellt:

Phi(x) = (4 PI Eps)^-1 * INT{V}( Rho(x') / |x-x'|) d^3x'




Man kann das Problem auch anders anpacken, mit eine bisschen mehr
Mathtematik.
Zuerst die Poissongleichung:
∆ phi(r)= - 4πρ(r)

Diese Funktion ist erinnert stark an folgende Gleichung der Mathematik

∆ (1/| r |)= - 4πδ(r)

(Wobei δ(r) die Dirac-Deltafunktion oder auch Deltadistribution ist,
mit Dimension 1/Lànge in R und 1/Volumen im R³)

Dies kann man noch verallgemeinern:

∆ (1/| r-r' |)= - 4πδ(r-r') für r'≠0

Daraus folgt, mit Identifizierung ρ(r')=Q*δ(r-r'):

∆ (Q/| r-r' |)= - 4πQδ(r-r') = - 4πρ(r')
∆ Φ(r)= - 4πρ(r')

Nun kann man schön erkennen, dass Φ=Q/| r-r' | im Gaußschen
Einheitensystem ist.
(Im SI Φ=1/(4πϵ)*Q/| r-r' |)

Mfg Daniel

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