Elementarer Beweis für a^3 + b^3 c^3

18/03/2015 - 08:42 von Peter Heckert | Report spam
Annahme 1):

a^3 + b^3 = c^3
a,b und c sind ganzzahlig und teilerfremd.
Es wird ausserdem angenommen, daß a nicht durch 3 teilbar ist. Diese Anahme schrànkt die Allgemeinheit nicht ein, denn b oder c dürfen durch 3 teilbar sein.

Wir setzen: c = x + b

Nach kurzer Umformung erhàlt man:

a^3 + b^3 = x^3 + 3xbc + b^3
a^3 = x^3 + 3xbc
Da beide Seiten durch x teilbar sein müssen, muss
a^3/x = x^2 +3bc ganzzahlig erfüllbar sein.

Unter den oben genannten Voraussetzungen müssen die linke und rechte Seite der Gleichung jedoch vollstàndig teilerfremd sein.

Deshalb ist diese letzte Gleichung und damit auch Annahme 1) nicht ganzzahlig erfüllbar.
 

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#1 mathemator
18/03/2015 - 10:13 | Warnen spam
Peter Heckert wrote:

Annahme 1):

a^3 + b^3 = c^3 a,b und c sind ganzzahlig und teilerfremd. Es wird
ausserdem angenommen, daß a nicht durch 3 teilbar ist. Diese Anahme
schrànkt die Allgemeinheit nicht ein, denn b oder c dürfen durch 3 teilbar
sein.

Wir setzen: c = x + b

Nach kurzer Umformung erhàlt man:

a^3 + b^3 = x^3 + 3xbc + b^3 a^3 = x^3 + 3xbc Da beide Seiten durch
x teilbar sein müssen, muss a^3/x = x^2 +3bc ganzzahlig erfüllbar sein.

Unter den oben genannten Voraussetzungen müssen die linke und rechte Seite
der Gleichung jedoch vollstàndig teilerfremd sein.



Warum sollten sie?
Z.B. erfüllen x = 1, a = 4, b = 3, c = 7 die letzte Gleichung.

Klaus-R.

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