Elementarer Beweis ueber die Summe zweier Kuben

21/11/2009 - 09:27 von Peter Heckert | Report spam
Hallo,

Beweise ueber die Summe zweier Kuben sind nicht neu. Der erste allgemein
anerkannte Beweis wurde durch Euler unter Einbeziehung der komplexen
Rechnung geführt.

Meines Wissens wàre allerdings ein Beweis, der ausschliesslich
elementare und reelle Algebra benutzt, neu.

Ein solcher Beweis soll im Folgenden versucht werden:

a^3 + b^3 = (a + b - x)^3
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3x(a+b)^2 + 3x^2(a+b) - x^3
a^3 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)- 3x(a+b)^2 + 3x^2(a+b) - x^3
0 = 3ab(a+b)- 3x(a+b)^2 + 3x^2(a+b) - x^3
0 = ab - x(a+b) + x^2 - x^3/(3(a+b))
ab = x(a+b) - x^2 + x^3/(3(a+b))

Hàtten nun x und (a+b) einen einzigen Primfaktor gemeinsam, dann wàre
dieser Faktor auch in ab enthalten. D.h. a, b und (a+b) könnten nicht
teilerfremd sein.

Haben aber x und (a+b) keinen Primfaktor gemeinsam, dann wàre
(a^3 + b^3) nicht durch (a+b) teilbar.

Ist das so richtig, oder gibt es doch noch einen Denk- oder Rechenfehler?

TIA,

Peter
 

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#1 Gottfried Helms
21/11/2009 - 11:12 | Warnen spam
Am 21.11.2009 09:27 schrieb Peter Heckert:
Hallo,

Beweise ueber die Summe zweier Kuben sind nicht neu. Der erste allgemein
anerkannte Beweis wurde durch Euler unter Einbeziehung der komplexen
Rechnung geführt.

Meines Wissens wàre allerdings ein Beweis, der ausschliesslich
elementare und reelle Algebra benutzt, neu.

Ein solcher Beweis soll im Folgenden versucht werden:

a^3 + b^3 = (a + b - x)^3
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3x(a+b)^2 + 3x^2(a+b) - x^3
a^3 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)- 3x(a+b)^2 + 3x^2(a+b) - x^3
0 = 3ab(a+b)- 3x(a+b)^2 + 3x^2(a+b) - x^3



Ok, sobald man aber anfàngt, unaufgelöste Nenner zu dulden,

0 = ab - x(a+b) + x^2 - x^3/(3(a+b))
ab = x(a+b) - x^2 + x^3/(3(a+b))



steigt die Wahrscheinlichkeit von Fehlern. Làßt man die Formel
im "Ganzzahlmodus" bedeutet


Hàtten nun x und (a+b) einen einzigen Primfaktor gemeinsam,


sei p gemeinsamer Primfaktor
und x = X*p
und (a+b) = A*p

dann
0 = 3ab(Ap)- 3Xp(Ap)^2 + 3X^2p^2(Ap) - X^3p^3
und
0 = 3ab(A)- p^2(3 X A^2 + 3X^2 A - X^3 )

... dann wàre
dieser Faktor auch in ab enthalten. D.h. a, b und (a+b) könnten nicht
teilerfremd sein.

Haben aber x und (a+b) keinen Primfaktor gemeinsam, dann wàre
(a^3 + b^3) nicht durch (a+b) teilbar.



Mit der vorgeschlagenen Zusammensetzung (a+b)=Ap und Xp = x
liest sich die Ausgangsformel ja schon

a^3 + b^3 = (Ap - Xp)^3
= (A-X)^3 p^3
Nun ist immer
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

und also die Ausgangsformel sogar so zu lesen:

Ap (a^2 - ab + b^2) = (A-X)^3 p^3
A (a^2 - ab + b^2) = (A-X)^3 p^2

Ist das so richtig, oder gibt es doch noch einen Denk- oder Rechenfehler?


Also ich gehe mal davon aus, daß die Aussage an der Stelle,
wo du den Bruch einführt, hakt. M.Mn. nach müßte sie dort
zunàchst pràzisiert werden.(Vielleicht kann sie ja dann trotzdem
bestehen bleiben)

Gruß -

Gottfried

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