Elementargeometrie, Problem 10

06/07/2009 - 18:45 von Armin Saam | Report spam
Problem 10:
Es sei P ein Punkt des Kreises um M und L sein Lotfußpunkt auf dem
Durchmesser AB. Wàhlt man den Punkt Q auf der Strecke MP so, dass |PQ| =
2*|AL| ist, und ist R der Schnittpunkt von AQ mit dem Kreis, so ist <) AMR =
3*<) AMP.

Schöne Grüße
Armin Saam
 

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#1 Stephan Gerlach
06/07/2009 - 21:48 | Warnen spam
Armin Saam schrieb:
Problem 10:
Es sei P ein Punkt des Kreises um M und L sein Lotfußpunkt auf dem
Durchmesser AB. Wàhlt man den Punkt Q auf der Strecke MP so, dass |PQ| =
2*|AL| ist, und ist R der Schnittpunkt von AQ mit dem Kreis, so ist <) AMR =
3*<) AMP.


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Ich zitiere mich mal selber aus Aufgabe 7:

"...Sei r der Radius des Kreises.
Im Folgenden bezeichne allgemein w_XYZ den von den Seiten YX und YZ im
Punkt Y eingeschlossenen Winkel..."

1.) Wir betrachten das gleichschenklige Dreieck PMA. In diesem Dreieck
sei alpha = w_PMA. Wegen der Gleichschenkligkeit und Innenwinkelsatz im
Dreieck folgt daraus
w_PAM = 90°-alpha/2 und gleichermaßen
w_MPA = 90°-alpha/2.
2.) Wir betrachten das gleichschenklige Dreieck RMA. In diesem Dreieck
gilt (besser: soll gelten) nun per Konstruktion w_RMA = 3*alpha. Wegen
der Gleichschenkligkeit und Innenwinkelsatz im Dreieck folgt daraus
w_RAM = 90°-(3*alpha)/2.
3.) Wir betrachten das Dreieck PAQ. In diesem Dreieck gilt (besser: soll
gelten) nun per Konstruktion w_RMA = 3*alpha. Der Winkel w_PAQ ist
gerade die Differenz von w_PAM und w_RAM, also mit 1.) und 2.)
w_PAQ = w_PAM-w_RAM = (90°-alpha/2)-(90°-(3*alpha)/2) = alpha. Weiterhin
hat dieses Dreieck mit dem Dreieck PMA den Winkel w_MPA gemeinsam,
genauer gilt mit 1.)
w_QPA = w_MPA = 90°-alpha/2.
Damit ist der dritte Winkel w_PQA vom Dreieck PAQ aber ebenfalls
90°-alpha/2. Das Dreieck PAQ ist somit gleichschenklig; ja, es ist sogar
àhnlich zum Dreieck PMA!
4.) Die in 3.) erhaltene Ähnlichkeit hat folgende Konsequenz:
PQ/PA = PA/r.

Eine der beiden fraglichen Strecken PQ und AL ist somit bereits
"entschlüsselt". Bleibt die Strecke AL:

5.) Wir betrachten das Dreieck PBA. Dieses Dreieck ist wegen Satz des
Thales in allen drei Winkeln bestimmt, sie lauten
w_PBA = alpha/2
w_PAB = 90°-alpha/2
w_BPA = 90°.
6.) Nun zum Dreieck PLA. Für dieses gilt per Konstruktion w_PLA = 90°.
Weiterhin hat es mit dem Dreieck PMA den Winkel PAM gemeinsam, konkret
gilt wegen 1.)
w_PAL = w_PAM = 90-alpha/2.
Bereits hier erkennt man anhand von 5.), daß das Dreieck PLA in zwei
Winkeln mit dem Dreieck PBA übereinstimmt und daher àhnlich zu ihm ist!
7.) Die in 6.) erhaltene Ähnlichkeit hat folgende Konsequenz:
AL/PA = PA/(2*r),
da die Hypothenuse im Dreieck PBA per Konstruktion gerade 2*r ist.

Nun ist auch die Strecke AL "entschlüsselt". Bringt man nun 4.) und 7.)
zusammen, so erhàlt man im Endeffekt

8.) PQ = (PA)²/r und AL = (PA)²/(2*r), daraus folgt PQ = 2*AL. q.e.d.

Wer aufmerksam mitgelesen hat, wird bemerkt haben, daß ich in gewisser
Weise umgekehrt vorgegangen bin. Konkret bin ich von w_RMA = 3*alpha
ausgegangen und habe daraus PQ = 2*AL geschlußfolgert, anstatt
umgekehrt. Beide Aussagen sollten aber in der Tat àquivalent sein, d.h.
auch die Umkehrung gelten.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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