Elementargeometrie, Problem 11

06/07/2009 - 18:52 von Armin Saam | Report spam
Problem 11, das vorerst letzte aus der von mir hier eingebrachten Serie:

Die beiden Tangenten von einem Punkt P an einen Kreis mögen diesen in T1 und
T2 berühren. L sei der Lotfußpunkt von T2 auf den Durchmesser T1Q. Dann
halbiert PQ die Strecke LT2.

Zum Abschluss also mal etwas leichtere Kost, gerade richtig, um die Zeit zu
überbrücken, die ein Frühstücksei zum Kochen braucht.

Schöne Grüße
Armin Saam
 

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#1 Stephan Gerlach
07/07/2009 - 20:40 | Warnen spam
Armin Saam schrieb:

Die beiden Tangenten von einem Punkt P an einen Kreis mögen diesen in T1 und
T2 berühren. L sei der Lotfußpunkt von T2 auf den Durchmesser T1Q. Dann
halbiert PQ die Strecke LT2.



Sorry, daß ich die letzte Aufgabe (11) löse, bevor die vorvorletzte (9)
gelöst ist. Aber bei Aufgabe 9 habe ich irgendwie Probleme mit der
Formulierung "$Kreis schneidet $Gerade in $Punkt". Es gibt doch nicht
*den* Schnittpunkt eines Kreises mit einer Gerade?!
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Zu Aufgabe 11:

Seien M der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises.
Sei S der Schnittpunkt der Strecke PQ mit der Strecke LT2.

Zunàchst zu einigen Winkeln:
1.) Sei w_MPT1 = alpha. Da T1T2 senkrecht auf PM steht, folgt daraus
auch irgendwie w_T1T2TQ = alpha. Daraus folgt dann, da das Dreieck QT2T1
wegen Satz des Thales rechtwinklig ist, w_QT2L = alpha.

Nun zu zwei speziellen Dreiecken:
2.) Die Dreiecke MPT1 und QT2L sind aus verschiedenen Gründen
beide rechtwinklig und haben wegen 1.) jeweils einen weiteren Winkel
alpha gemeinsam. Diese beiden Dreiecke sind also einander àhnlich.
3.) Für diese Dreiecke ergibt sich folgende Verhàltnisgleichung:
LT2/QL = PT1/r, àquivalent LT2 = PT1*QL/r.

Nun zur Strecke LS:
4.) Die Figur, bestehend aus den Punkten P,S,Q,L,T1 ist eine
Strahlensatz-Figur. In dieser gilt
LS/QL = PT1/(2*r), àquivalent SL = PT1*QL/(2*r).

5.) Aus 3.) und 4.) erhàlt man schlußendlich
LS = PT1*QL/(2*r) = 1/2*(PT1*QL/r) = 1/2*LT2.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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