Elementargeometrie, Problem 4

25/06/2009 - 22:32 von Armin Saam | Report spam
Problem 4:
Es sei ABCD ein Parallelogramm. L sei der Schnittpunkt der Lote auf CD in C
und auf AD in A. Zeige: Dann stimmen die Winkel alpha1 = <ALB und alpha2 =
<DLC überein.

Gruß
Armin Saam


Weitere Probleme folgen demnàchst.
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
27/06/2009 - 17:16 | Warnen spam
Armin Saam schrieb:
Problem 4:
Es sei ABCD ein Parallelogramm. L sei der Schnittpunkt der Lote auf CD in C
und auf AD in A. Zeige: Dann stimmen die Winkel alpha1 = <ALB und alpha2 =
<DLC überein.

Gruß
Armin Saam


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Hallo!

Hier mein Lösungsvorschlag:
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Man übt auf das rechtwinklige Dreieck DCL die Translation mit dem
Translationsvektor vec(CB) aus.
DCL geht dabei über in das rechtwinklige Dreieck ABM, wobei M der
Bildpunkt von L ist. D.h. vec(LM)=vec(CB) und vec(BM)=vec(CL).
ML parallel BC, BC parallel AD.
Aufgrund der Konstruktion gilt nun <)ABM=<)DCL° und
<)ALM=<)DAL°. Es ist also <)ALM=<)ABM°.
Daher liegen die vier Punkte A,M,L,B auf einem Kreis
(AMLB ist ein Sehnenviereck).
Nach dem Peripheriewinkelsatz (=Umfangswinkelsatz)gilt daher
<)AMB=<)ALB=alpha1
Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke AMB und DLC kongruent sind,
ist alpha2=<)DLC=<)AMB=alpha1.
W.z.z.w.

Dank an Armin für seine netten Geometrieaufgaben.

Viele Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

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