Elementargeometrie, Problem 6

26/06/2009 - 16:47 von Armin Saam | Report spam
Problem 6:
Es seien A, B, C drei Punkte des Kreises um M derart, dass <BMC = 2*<AMB.
L sei der Lotfußpunkt von B auf MA. Ferner sei D auf BL so gewàhlt,
dass DB = 2*BL. Zeige: Dann ist CD parallel zu MB.

Gruß
Armin Saam
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
27/06/2009 - 18:35 | Warnen spam
Armin Saam schrieb:
Problem 6:
Es seien A, B, C drei Punkte des Kreises um M derart, dass <BMC = 2*<AMB.
L sei der Lotfußpunkt von B auf MA. Ferner sei D auf BL so gewàhlt,
dass DB = 2*BL. Zeige: Dann ist CD parallel zu MB.

Gruß
Armin Saam





Hallo!

Ich nehme an, daß es heißen muß:
Ferner sei D auf BL so gewàhlt, dass DB = 2*BL und B zwischen D und L liegt.
Zunàchst "nur" eine Lösung mit Hilfe von Winkelfunktionen, weil diese
sehr kurz ist:
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Wir zeigen, daß C und D von der Geraden g(M,B) gleichen Normalabstand haben.
Sei r der Radius des gegebenen Kreises und sei alpha:=<)AMB. Es ist dann
<)BMC= 2*alpha, weiters liegen A und C auf verschiedenen Seiten der
Geraden g(M,B).
Sei E der Lotfußpunkt des Lotes zu g(M,B) durch D und
F der Lotfußpunkt des Lotes zu g(M,B) durch C.
Wir haben nun zu zeigen, daß |CF| = |DE| gilt:
Es ist <)BDE=<)AMB= alpha,|BL|= r*sin(alpha) und weiters <)FMC=<)BMC=
2*alpha.
Es ist daher |DE|=|BD|*cos(alpha)=2*|BL|*cos(alpha)=
=2*r*sin(alpha)*cos(alpha)= r*sin(2*alpha)= |CF|.
Weil |DE|=|CF| ist, CD parallel zu MB.

Einen Beweis ohne die Verwendung von Winkelfunktionen muß ich mir noch
überlegen.

Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

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