Elementargeometrie, Problem 8

28/06/2009 - 18:07 von Armin Saam | Report spam
Problem 8:
Es sei AB ein Durchmesser des Kreises um M und C ein Punkt der Peripherie. D
halbiere den Bogen AC und E sei der Lotfußpunkt von C auf AB. Ferner sei l
das Lot von C auf AB. Die Parallele zu AD durch E schneide l in L und die
Parallele zu MD durch L schneide AB in N. Man zeige, dass BN = EM ist.

Gruß
Armin Saam
 

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#1 Philippe 92
30/06/2009 - 09:06 | Warnen spam
Armin Saam schrieb :
Problem 8:
Es sei AB ein Durchmesser des Kreises um M und C ein Punkt der Peripherie. D
halbiere den Bogen AC und E sei der Lotfußpunkt von C auf AB. Ferner sei l
das Lot von C auf AB. Die Parallele zu AD durch E schneide l in L und die
Parallele zu MD durch L schneide AB in N. Man zeige, dass BN = EM ist.




Hallo,

E sollte der Lotfusspunkt von D sein als in Aufgabe 7, sonst die
Parallele zu AD durch E schneidet dem Lot l = CE ... im E !

Peripheriewinkel gibt CBA = 2 DBA = DMA
Also LN ist Parallel mit BM und LN
Es sei H der Lotfusspunkt von C auf AB
Dann die àhnliche Dreiecke gibt :
HN/EM = HL/ED = HE/EA
was auf algebraische Strecken auf AB kann geschriebn sein :
(HB + BN)/EM = HE/EA
oder
BN/EM = HE/EA - HB/EN

Das kurzestes ist dann aus cos Funktion :
Sei Radius = 1
HE = ME - MH = cos(t) - cos(2t)
EA = MA - ME = 1 - cos(t)
HB = MB - MH = -1 - cos(2t)
EM = -ME = -cos(t)
dann ergibt :
BN/EM = (cos(t) - cos(2t))/(1 - cos(t)) - (1 + cos(2t))/cos(t)
wegen cos(2t) = 2cos^2(t) - 1, dieses reduziert zu
BN/EM = 1

Ein direkt Beweis könnte aus einem Beweis dass
cos(2t) = 2cos^2(t) - 1 erziehen worden.

Herzliche Grüsse.



Philippe Ch., mail : chephip+
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