empirische mehrdimensionale Varianz

10/07/2008 - 17:13 von Kevin Bitzer | Report spam
Hallo

Wenn man den Mittelwert einer gaussverteilten Grösse x misst, gilt doch
für die Standardabweichung der Messung m:

Sdt(m) = Std(x) / N^0.5

wobei Std(x) die Standardabweichung von x ist und N die Anzahl der
Messungen, d.h.

Wie ist dieser Satz auf mehrdimensionale Grössen verallgemeinert?
Das heisst ich habe eine vektorielle Messgrösse vec(m) und wie sieht nun
der Zusammenhang zwischen den beiden Varianzen aus?


Sdt( norm( vec(m) ) = F( C_x, N )

wobei C_x die Kovarianzmatrix von x ist.

rsp.

C_m = G( C_x, N )

wie sind die Funktionallen Abhàngigkeiten F, G gegeben?

Besten Dank
 

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#1 earthnut
12/07/2008 - 21:03 | Warnen spam
Kevin Bitzer <""euronodi a t \"@ google com"> wrote:

Hallo

Wenn man den Mittelwert einer gaussverteilten Grösse x misst, gilt doch
für die Standardabweichung der Messung m:

Sdt(m) = Std(x) / N^0.5

wobei Std(x) die Standardabweichung von x ist und N die Anzahl der
Messungen, d.h.



Wenn Xquer die Zufallsvariable ist, die für festes N den Mittelwert

Xquer = 1/N Sum_[i=1..n] Xi

angibt und die Xi unabhàngig und identisch verteilt sind, gilt

Var Xquer = Var(1/N Sum_[i=1..n] Xi)
= 1/N^2 Var(Sum_[i=1..n] Xi)
= 1/N^2 Sum_[i=1..n] Var Xi
= 1/N^2 N Var X = 1/N Var X

Da für konstantes c: Var cX = c^2 Var X gilt und für unabhàngige X und
Y: Var(X+Y) = Var X + Var Y.

Nun ist die Standardabweichung gerade die Wurzel der Varianz, daher gilt
die von dir angegebene Formel.

Wie ist dieser Satz auf mehrdimensionale Grössen verallgemeinert?
Das heisst ich habe eine vektorielle Messgrösse vec(m) und wie sieht nun
der Zusammenhang zwischen den beiden Varianzen aus?



Jetzt stellt sich schon mal die Frage, wie die Varianz auf
mehrdimensionale Größen zu verallgemeinern ist. Für eindimensionale
Größen ist die Varianz über den Erwartungswert E definiert als:

Var X = E[(X-EX)^2]

Wenn X nun eine vektorielle Größe ist, steht in dem inneren
Erwartungswert EX ein Vektor. Der muss nun wieder einen Vekor ergeben,
damit man ihn von X abziehen kann. Daher wird man den Erwartungwert wohl
komponentenweise bilden. Dann steht im àußeren Erwartungswert E[..] ein
Vektor zum Quadrat. Was ist das nun? Da man i. d. R. als Varianz die
Kovarianzmatrix C zurück haben will, nimmt man für den mehrdimensionalen
Fall

Var X = E[(X-EX)(X-EX)^T] ,

wobei ()^T für das Transponierte steht und im àußeren Erwartungswert
E[..] nun quasi das dyadische Produkt von X-EX mit sich selbst ist.

Wenn X und Y unabhàgig sind, gilt nach wie vor:

Var(X+Y) = E[(X+Y-E[X+Y])(X+Y-E[X+Y])^T]
= E[(X-EX)(X-EX)^T+(Y-EY)(Y-EY)^T
+(X-EX)(Y-EY)^T+(Y-EY)(X_EX)^T]
= Var X + Var

Da E[(X-EX)(Y-EY)^T] wegen der Unabhàngigkeit von X und Y gleich
E[X-EX]E[Y-EY]^T ist, aber E[X-EX]=EX-EX=0 und E[Y-EY] analog. Gleiches
gilt auch für E[(Y-EY)(X-EX)^T].

Daher ist auch im Mehrdimensionalen

Var Xquer = 1/N Var X

oder in deiner Notation

C_m = 1/Sqrt(N) C_x .

Sdt( norm( vec(m) ) = F( C_x, N )



Sei nun X wieder ein Vektor. Die Standardabweichung der Norm von Vektor
ist die Wurzel aus der Varianz von der Norm vom Vektor. Für die gilt:

Var |X| = E[(|X|-E|X|)^2]

E|X| ist aber weder eine besonders aussagekràftige, noch eine leicht zu
berechnende Größe. Kann es sein, dass du eher an dem Ausdruck

E[|X-EX|^2]

interessiert bist? Das wàre gerade die mittlere quadratische Abweichung
von X zum dessen Erwartungswert und daraus die Wurzel ist gerade das,
was man sich üblicherweise unter der Standardabweichung vorstellt. In
diesem Falle wàre:

Std X := Sqrt E[|X-EX|^2] = Sqrt Tr(Var X)

wobei Tr(.) die Spur einer Matrix bezeichnen soll. Hier wurde benutzt,
dass für Vektoren x gilt |x|^2 = x^T x = Tr(x x^T), wie man leicht
nachrechnen kann.

Damit wàre nun

Std Xquer = Sqrt Tr(Var Xquer) = Sqrt Tr(1/N Var X)
= 1/Sqrt(N) Sqrt Tr(Var X) = 1/Sqrt(N) Std X

wie gehabt, oder in deiner Notation und mit deinen Abhàngigkeiten

Std vec(m) = Sqrt(1/N Tr C_x) .

Hilft das schonmal weiter?

Bastian

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