Endlichdimensionale Vektorräume, alle Normen äquivalent

20/08/2013 - 23:49 von Stephan Gerlach | Report spam
Wenn V ein Vektorraum ist, dann folgt bekanntlich aus
1.) "V ist endlich-dimensional"
2.) "Alle Normen auf V sind àquivalent".

Gilt eigentlich auch die Umkehrung, d.h. folgt aus 2.) auch 1.)?
Eine (wie ich meine, sogar begründete) Vermutung habe ich diesbezüglich,
aber würde vorerst die Frage mal als "Übungsaufgabe" in den Raum stellen.

Bei (z.B.) Wikipedia steht dazu zumindest nichts konkretes, sondern nur
lapidar (und IMHO nicht eindeutig formuliert)
"Auf unendlichdimensionalen Ràumen sind jedoch nicht alle Normen
zueinander àquivalent."
Das könnte man lesen als "aus 2.) folgt 1.)", aber mit viel
"Böswilligkeit" auch so interpretieren, als ob der Autor nach dem
'jedoch' ein 'im Allgemeinen' vergessen hat.

Vielleicht heißt das, daß dieser Sachverhalt dermaßen trivial ist, daß
er keiner weiteren Erlàuterung bedarf; vielleicht aber auch, daß die
Antwort "schwieriger als gedacht" (oder sogar unbekannt) ist.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Ulrich Lange
21/08/2013 - 00:28 | Warnen spam
On 20.08.2013 23:49, Stephan Gerlach wrote:
Wenn V ein Vektorraum ist, dann folgt bekanntlich aus
1.) "V ist endlich-dimensional"
2.) "Alle Normen auf V sind àquivalent".

Gilt eigentlich auch die Umkehrung, d.h. folgt aus 2.) auch 1.)?
Eine (wie ich meine, sogar begründete) Vermutung habe ich diesbezüglich,
aber würde vorerst die Frage mal als "Übungsaufgabe" in den Raum stellen.

Bei (z.B.) Wikipedia steht dazu zumindest nichts konkretes, sondern nur
lapidar (und IMHO nicht eindeutig formuliert)
"Auf unendlichdimensionalen Ràumen sind jedoch nicht alle Normen
zueinander àquivalent."
Das könnte man lesen als "aus 2.) folgt 1.)", aber mit viel
"Böswilligkeit" auch so interpretieren, als ob der Autor nach dem
'jedoch' ein 'im Allgemeinen' vergessen hat.

Vielleicht heißt das, daß dieser Sachverhalt dermaßen trivial ist, daß
er keiner weiteren Erlàuterung bedarf; vielleicht aber auch, daß die
Antwort "schwieriger als gedacht" (oder sogar unbekannt) ist.



Einen (IMHO recht einfachen) Beweis für die Umkehrung findest Du z.B. in
H.W. Alt "Lineare Funktionalanalysis" Seite 112.

Skizze:

V unendlichdimensional ==> es gibt unendlich viele linear unabhàngige
e_i \in V. Es gibt dann einen Unterraum U c V so dass jedes v \in V
eine eindeutige Darstellung

v = u + \sum_i a_i e_i

mit u \in U (und a_i <> 0 für endlich viele i) hat. Sei ||.|| eine
Norm auf V. O.B.d.A kann man ||e_i||=1 annehmen. Dann kann man durch

||v||_1 = ||u|| + \sum_i |a_i|*i

eine andere Norm auf V definieren, die nicht àquivalent zu ||.|| ist.



Ulrich

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