Endliche Körper

25/10/2010 - 11:23 von Jutta Gut | Report spam
Hallo!

Ich habe in einem Buch (Zeitler/Pagon, Kreisgeometrie) etwas über endliche
Körper gefunden und versuche das jetzt nachzuvollziehen.

Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine
Primzahlpotenz q = p^e. GF(p) ist einfach der Restklassenkörper mod p (das
ist mir klar). Den Körper GF(q^2) kann man konstruieren, indem man ein in
GF(q) irreduzibles quadratisches Polynom x^2 + b wàhlt, ein Element epsilon
mit eps^2 + b = 0 definiert und zum Körper adjungiert. Das wird an einem
Beispiel durchgeführt.

Weiters heißt es: "Bei Verwendung eines irreduziblen Polynoms vom Grad e ...
làsst sich aus GF(p) sogar L = GF(p^e) konstruieren." Heißt das, dass man
z.B. bei einem Polynom 3. Grades eps und eps^2 adjungiert (z.B. ausgehend
von K(3), eps^3 - eps - 1 = 0)?

Die nàchste Frage: Gibt es zu einer Primzahlpotenz p^e nur einen Körper?
Wenn ich also von verschiedenen Polynomen ausgehe, sind die so erhaltenen
Körper alle isomorph?

Außerdem steht da: "In dieser Arbeit klammern wir den Fall Char K = 2 völlig
aus. Er fàllt total aus dem Rahmen und führt auf merkwürdige Sàtze." Was ist
damit gemeint?

Danke für eure Hilfe
Jutta
 

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#1 Ralf Goertz
25/10/2010 - 12:25 | Warnen spam
Jutta Gut wrote:

Hallo!


Weiters heißt es: "Bei Verwendung eines irreduziblen Polynoms vom Grad e ...
làsst sich aus GF(p) sogar L = GF(p^e) konstruieren." Heißt das, dass man
z.B. bei einem Polynom 3. Grades eps und eps^2 adjungiert (z.B. ausgehend
von K(3), eps^3 - eps - 1 = 0)?



Ja, man braucht aber nur eps adjungieren. Die Potenzen
eps^i, i=0…n-1, dieser Nullstelle sind dann ja automatisch drin und
bilden eine Basis des Vektorraums GF(p^e) über GF(p).

Die nàchste Frage: Gibt es zu einer Primzahlpotenz p^e nur einen Körper?
Wenn ich also von verschiedenen Polynomen ausgehe, sind die so erhaltenen
Körper alle isomorph?



Ja: Ist p eine Primzahl und n € n, so existiert bis auf Isomorphie genau
ein Körper mit p^n Elementen. Er besteht aus allen Nullstellen von
X^(p^n)-X € GF(p)[X].

Außerdem steht da: "In dieser Arbeit klammern wir den Fall Char K = 2 völlig
aus. Er fàllt total aus dem Rahmen und führt auf merkwürdige Sàtze." Was ist
damit gemeint?



Hm, daran, dass char(K)=2 total aus dem Rahmen fiele, kann ich micht
nicht erinnern.

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