Energie und Impuls in MOND

11/10/2009 - 19:59 von Gregor Scholten | Report spam
Hallo zusammen,

Im "Dunkle Materie"-Thread bin kürzlich auf die Feststellung gestoßen,
dass MOND offenbar erlaubt, dass in einem Zweikörpersystem der
Schwerpunkt eine Beschleunigung erfàhrt, obwohl auf das Gesamtsystem
keine Kraft wirkt:

http://groups.google.de/group/de.sc...222d3747d4

Das hat mich angespornt, etwas genauer nachzurechnen, wobei ich zu
Ergebnissen gekommen bin, die die Konsistenz von MOND sehr in Frage
stellen:

Bekanntlich sagt MOND aus, dass die Newtonsche Bewegungsgleichung
F=m*a nur für Beschleunigungen a >> a0 gilt, wobei a0 Konstante ist.
Für kleine Beschleunigungen a << a0 gilt stattdessen

F = m * a^2 / a0

und entsprechend

a = sqrt(F*a0/m)

Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/MOND#Die_Hypothese

Nun nehmen wir zwei Körper mit den Massen M und m << M, die sich
gravitativ anziehen. Der Bahndrehimpuls sei null, so dass die beiden
Körper linear aufeinander zu fallen. Auf beide Körper wirkt die Kraft
F, jedoch sei F/m >> a0, so dass der leichtere Körper mit der Masse m
eine Beschleunigung a_m >> a0 erfàhrt, die der Newtonsche Gleichung
gehocht: a_m = F/a_m, wohingegen F/M << a0, so dass die Beschleunigung
des schweren Körpers a_M << a0 sei und daher a_M = sqrt(F*a0/M).

Nun berechnen wir die Beschleunigung a_s des Schwerpunktes. Es gilt:

a_s = (M * a_M - m * a_m) / (M + m)

Das Minuszeichen kommt dabei daher, dass die beiden Beschleunigungen
a_M und a_m entgegengesetzt sind. Einsetzen der Beschleunigungen
ergibt:

a_s = (M * sqrt(F*a0/M) - m * F/m) / (M + m)

= (M * sqrt(F*a0/M) - F) / (M + m)

= sqrt(F*a0/M) ( M - sqrt(F*M/a0) ) / (M + m)

Mit F/M << a0 gilt sqrt(F*M/a0) << M, so dass der rechte Term in der
Klammer vernachlàssigbar ist:

a_s ~ a_M * M / (M + m)

Der Schwerpunkt wird also in die gleiche Richtung beschleunigt wie der
schwere Körper. Folglich erlaubt MOND, dass ein Zweikörpersystem
beschleunigt wird, ohne dass eine àußere Kraft einwirkt, allein durch
die Kràfte zwischen den beiden Körpern. Vor allem bedeutet dies einen
logischen Widerspruch zur MOND-eigenen Bewegungsgleichung, nach der
bei verschwindender Kraft auch die Beschleunigung verschwinden muss.
MOND ist folglich logisch inkonsistent. Der einzige Ausweg wàre, dass
MOND sehr streng zwischen Einzelkörpern und Mehrkörpersystemen
unterscheiden würde, was aber kaum mit der Realitàt zusammenpassen
dürfte, da Himmelskörper stets zusammengesetzte Systeme sind.

Aber betrachten wir noch die Frage nach der Impulserhaltung. Dass der
Schwerpunkt ohne àußere Kraft beschleunigt wird, deutet bereits darauf
hin, dass diese verletzt wird, tatsàchlich ist es aber so, dass der
Impuls in MOND auf zweierlei Weise definiert werden kann. Einmal über
die Geschwindigkeit

p_v = m*v (1.1)

und andererseits über das Zeitintegral der Kraft

p_F = \int_0^t F dt' (1.2)

Anders als bei Newton sind diese beide nicht identisch, wie man sich
leicht klarmachen kann: erreicht ein Körper der Masse m die
Geschwindigkeit dadurch, dass er sehr langsam mit einer Beschleunigung
a << a0 beschleunigt wird, so gilt

p_F = \int_0^t F dt' = \int_0^t m*a^2 / a0 dt' = m*a*t * (a/a0) = m*v
* (a/a0)

Das Resultat weicht also um den Faktor a/a0 von p_v = m*v ab. Der
Impuls bei einer gegebenen Geschwindigkeit hàngt somit vom
Beschleunigungsvorgang ab. Beim obigen Beispiel mit dem schweren und
leichten Körper bleibt der Impuls nach (1.1) nicht erhalten, wohl aber
der Impuls nach (1.2).

Ähnlich wie mit dem Impuls ist es mit der kinetischen Energie. Diese
ist definierbar über

E_kin_v = m*v^2 / 2 (2.1)

oder über das Wegintegral der Kraft

E_kin_F = \int_0^s F ds' (2.2)

Für den mit a << a0 beschleunigten Körper bedeutet das wiederum:

E_kin_F = \int_0^s F ds' = \int_0^s m*a^2 / a0 ds' = m*a*s * (a/a0)

was mit s = a*t^2 / 2 und v = a*t zu

E_kin_F = 1/2 m*v^2 * (a/a0)

wird. Ähnlich wie beim Impuls unterscheidet sich dies um den Faktor a/
a0 von (2.1). Für beide Definitionen der kinetischen Energie, (2.1)
und (2.2), làsst sich zeigen, dass in MOND die Energieerhaltung
verletzt wird. Zunàchst (2.1): um einen Körper zu beschleunigen, muss
die Arbeit W = \int_0^s F ds' verrichtet werden. Ist die
Beschleunigung a << a0, so ist die zu verrichtende Arbeit zum
Erreichen der Geschwindigkeit v identisch mit der kinetischen Energie
nach (2.2), also E_kin_F. Diese ist aber um den Faktor a/a0 kleiner
als E_kin_v (2.1). Die kinetische Energie nach Abschluss der
Beschleunigungsphase ist also um den Faktor a0/a größer als die
verrichtete Beschleunigungsarbeit, es wurde somit Energie aus dem
Nichts erzeugt.

Verwendet man hingegen die Definition (2.2), so stimmt die
Energiebilanz beim Beschleunigen zwar, nicht aber bei einem
anschließend Abbremsevorgang. Nehmen wir an, der Körper werde auf v=0
abgebremst, indem er auf einen zweiten Körper trifft und total
inelastisch in diesen eindringt, die Eindringtiefe sei s. Die Masse
des zweiten Körpers sei viel größer als die des ersten, so dass er
durch den Stoß keine nennenswerte Beschleunigung erfàhrt. Die
Verzögerung beim Abbremsen sei a >> a0, so dass Newtons
Bewegungsgleichung verwendet werden kann: a = F_brems / m. Für die am
zweiten Körper verrichtete Verformungsarbeit ist:

W_def = \int_0^s F_brems ds' = \int_0^s m*a ds' = \int_0^t m*a(t') * v
(t') dt'

wobei im letzten Schritt ds' = v(t') dt' benutzt wurde. Mit dv = -a
(t') dt', wobei das Minuszeichen daher kommt, dass der erste Körper
verlangsamt wird, ergibt sich:

W_def = - m \int_v(0)^v(t) v dv = - \int_v0^0 v dv = 1/2 m*v0^2

wobei v0 die Geschwindigkeit beim Auftreffen ist. Der Körper hatte
also nur die kinetische Energie

E_kin_F = 1/2 m*v0^2 * (a/a0)

verrichtete aber die um den Faktor a0/a größere Verformungsarbeit

W_def = 1/2 m*v0^2

Folglich wurde beim Abbremsen Energie aus dem Nichts erzeugt.

Hier nochmal kurz die Ergebnisse im Überblick:
- MOND erlaubt, dass der Schwerpunkt eines Zweikörpersystems ohne
àußere Krafteinwirkung beschleunigt wird
- damit widerspricht MOND seiner eigenen Bewegungsgleichung
- MOND erlaubt Verletzungen der Energieerhaltung

Mich würden besonders Kommentare von Homo Lykos (sofern der nicht aus
lauter Wut über das für MOND verheerende Resultat geplatzt ist) und
Roland Neuhaus interessieren.


Gruß,
Gregor
 

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#1 Andreas Most
10/10/2009 - 18:51 | Warnen spam
Gregor Scholten writes:

Hallo zusammen,

Im "Dunkle Materie"-Thread bin kürzlich auf die Feststellung gestoßen,
dass MOND offenbar erlaubt, dass in einem Zweikörpersystem der
Schwerpunkt eine Beschleunigung erfàhrt, obwohl auf das Gesamtsystem
keine Kraft wirkt:



Das ist auf der englischen Wikiseite bereits erwàhnt. Man kann die
Bewegungsgleichung aber auch so abàndern, dass die Impulserhaltung
gültig bleibt.

Ein anderes Argument gegen MOND ist, dass sie nicht lorentzinvariant
ist. Dafür gibt es aber eine relativistische Variante von Bekenstein,
die TeVeS, die auf der allgemeinen Relativitàtstheorie basiert. Wie
Bekenstein selbst betont, ist das alles natürlich nur phànomenologisch.

Andreas.

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