Energiedichte einer Ladungsverteilung

24/09/2007 - 11:55 von Daniel | Report spam
Hallo!

Um eine Pktldg aus dem Unendlichen zu einer 2. Pktldg zu
transportieren, muss man folgende Arbeit leisten:

W(12)=qΦ=q1*q2/abs(r12); r12=r2-r1;

Für N Pktldg gilt:

W(12...N)=q1*q2/abs(r12) +[q1*q3/abs(r13)+q3*q2/abs(r23)] +=Σ(j=2..N) Σ(i=1..j-1)[q_i*q_j]/abs(r_ji) = 1/2*Σ(i,j=1..N,i ungleich
j)[q_i*q_j]/abs(r_ji);


=> W=1/2 ∫∫d³r d³r' ρ(r)*ρ(r')/abs(r-r') = 1/2 ∫∫d³r ρ(r) Φ(r) = -1/
(8Pi) ∫d³r Φ(r) ∆Φ(r)
Jetzt kommt mein Problem:

-1/(8Pi) Φ(r) grad(Φ(r)) +1/(8Pi) ∫ grad(Φ(r))^2d³r

Warum wird der Therm -1/(8Pi) Φ(r) grad(Φ(r))=0 ?

Mfg
Daniel
 

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#1 Andreas Most
24/09/2007 - 14:34 | Warnen spam
Daniel wrote:
Hallo!

Um eine Pktldg aus dem Unendlichen zu einer 2. Pktldg zu
transportieren, muss man folgende Arbeit leisten:

W(12)=qΦ=q1*q2/abs(r12); r12=r2-r1;

Für N Pktldg gilt:

W(12...N)=q1*q2/abs(r12) +[q1*q3/abs(r13)+q3*q2/abs(r23)] +> =Σ(j=2..N) Σ(i=1..j-1)[q_i*q_j]/abs(r_ji) = 1/2*Σ(i,j=1..N,i ungleich
j)[q_i*q_j]/abs(r_ji);


=> W=1/2 ∫∫d³r d³r' ρ(r)*ρ(r')/abs(r-r') = 1/2 ∫∫d³r ρ(r) Φ(r) = -1/
(8Pi) ∫d³r Φ(r) ∆Φ(r)>
Jetzt kommt mein Problem:

-1/(8Pi) Φ(r) grad(Φ(r)) +1/(8Pi) ∫ grad(Φ(r))^2d³r

Warum wird der Therm -1/(8Pi) Φ(r) grad(Φ(r))=0 ?



Wegen

div(Φ(r) grad(Φ(r))) = grad(Φ(r))^2 + Φ(r) ∆Φ(r)

folgt aus dem Gaußschen Integralsatz:

∫d³r (grad(Φ(r))^2 + Φ(r) ∆Φ(r))
= ∫d³r div(Φ(r) grad(Φ(r))) = ∫_O d\vec{S} Φ(r) grad(Φ(r))

Das Oberflàchenintegral geht über eine Kugeloberflàche im Unendlichen
(Einhüllende des Volumens, über das integriert wird).

Das Integral verschwindet also, weil Φ(r) grad(Φ(r)) für große r
proportional zu 1/r^3 ist und die Oberflàche proportional zu r^2 ist.

( = lim_(r->oo)(4\pi r^2 / r^3 = 0)

Sorry, für den etwas unmathematischen Beweis, aber ich hoffe, die
Erklàrung ist einleuchtend.

Andreas.

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