Energieerhaltung in der klassischen Mechanik

23/06/2009 - 18:07 von Stefan Sprungk | Report spam
Gibt es eine einfache und elegante Möglichkeit, basierend auf den
Axiomen von Newton, die Erhaltung der Energie in einem abgeschlossenen
mechanischen System zu begründen? Ich kenne die Begründungen aus den
Formulierungen der Lagrange Mechanik, die auf der homogenitàt der Zeit
beruht. Gibt es jedoch noch einfachere theoretische Begründungen bzw.
Betrachtungen?

MFG Stefan
 

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#1 Roland Franzius
23/06/2009 - 18:28 | Warnen spam
Stefan Sprungk schrieb:
Gibt es eine einfache und elegante Möglichkeit, basierend auf den
Axiomen von Newton, die Erhaltung der Energie in einem abgeschlossenen
mechanischen System zu begründen? Ich kenne die Begründungen aus den
Formulierungen der Lagrange Mechanik, die auf der homogenitàt der Zeit
beruht. Gibt es jedoch noch einfachere theoretische Begründungen bzw.
Betrachtungen?



Natürlich. In der Mechanik sind die abstrakten Formulierungen immer nur
die Wiedergabe höchst trivialer Tatbestànde der Newtonschen Theorie.

Ein n-Teilchensystem mit Koordinaten x_k heißt konservativ, wenn alle
Kràfte in den Bewegungsgleichungen Ableitungen eines Potentials sind.

m_k d^2/dt^2 x_k = - dV(x_1,..x_n)/dx_k

Multipliziert man beide Seiten mit den Geschwindigkeitskomponenten
d/dt x_k und summiert, erhàlt man

sum_k ( 1/2 d/dt (d/dt x_k)^2 + (d/dt x_k) dV/d_k )
d/dt ( 1/2 ( sum_k v_k(t))^2 + V(x_1(t),..x_n(t)) ) = 0

Den zeitlich konstanten Ausdruck in der Klammer _nennt_ man Energie. Sie
_ist_ die Energie im üblichen Sinn, wenn
d^2(x)=sum_k x^_k^2 die geometrische Lànge ist.


Roland Franzius

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