entartete Trapeze

15/02/2013 - 01:52 von mock | Report spam
Ich nenne Trapeze Summen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, also
z. B.

87 = 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17.

Das ist die Differenz zweier Dreieckzahlen anschaulich gemacht:

87 = Δ17 - Δ11.

Dadurch lassen sich alle n  ℕ darstellen.

Primzahlen p lassen sich in dieser Art nur in zwei Formen

Δp - Δ(p-1)

und

Δ(p+1)/2 - Δ(p-3)/2

darstellen.

Wie kommt es, dass Zweierpotenzen zp, und nur die, sich in
ausschliesslich in der Form

Δzp - Δ(zp-1)

darstellen lassen, also als Trapez mit der Höhe 1?
 

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#1 Jens Vo
15/02/2013 - 11:01 | Warnen spam
On 15 Feb., 01:52, mock wrote:
Ich nenne Trapeze Summen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, also
z. B.

87 = 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17.

Das ist die Differenz zweier Dreieckzahlen anschaulich gemacht:

87 = Δ17 - Δ11.

Dadurch lassen sich alle n  ℕ darstellen.

Primzahlen p lassen sich in dieser Art nur in zwei Formen

Δp - Δ(p-1)

und

Δ(p+1)/2 - Δ(p-3)/2

darstellen.

Wie kommt es, dass Zweierpotenzen zp, und nur die, sich in
ausschliesslich in der Form

Δzp - Δ(zp-1)

darstellen lassen, also als Trapez mit der Höhe 1?



I. Zweierpotenzen lassen sich nur als entartete
Trapeze darstellen.

Beweis: Es gilt die Formel

(*) Delta(s) + Delta(t) = Delta(s+t) - st

Sei T := Delta(s+t) - Delta(s) ein nicht entartetes
Trapez mit s, t >= 0, d.h. t > 1. Ist p ein ungerader
Primteiler von t, dann teilt p auch Delta(t) und damit

st + Delta(t) = Delta(s+t) - Delta(s) = T

Ist also T Zweierpotenz, so muss auch t Zweierpotenz
sein; für T=2^R sei also t = 2^r mit r > 0 (wegen
t > 1). Dann gilt aber

2^R = T
= Delta(s+2^r) - Delta(s)
= s 2^r + Delta(2^r)
= s 2^r + 2^(r-1) (2^r + 1)
= 2^(r-1) * (2s + 2^r + 1)

2s + 2^r + 1 muss also Zweierpotenz > 1, also gerade
sein. Andererseits ist r > 0 und damit ist 2^r gerade
und somit 2s + 2^r + 1 ungerade, ein Widerspruch.

II. Zahlen, die keine Zweierpotenzen sind, lassen sich
als nicht entartetes Trapez darstellen.

Beweis: Sei z = 2^r (2s + 1) keine Zweierpotenz, also
s > 0.

Es gilt

2^r (2s + 1) = Delta(s + 2^r) - Delta(s - 2^r)

Dabei gilt für n > 0

Delta(-n) = Delta(n-1)

Das Trapez Delta(s + 2^r) - Delta(s - 2^r) kann also
nur dann entartet sein, wenn s - 2^r negativ ist und
wenn s + 2^r = -(s - 2^r) = 2^r - s ist, also für
s = 0, was der Wahl von s widerspricht.

Schönen Gruß,
Jens

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