Enthaelt die Mathematik unbemerkte (ontologische) Paemissen?

27/10/2013 - 02:04 von Fritz Wuehler | Report spam
Im Aufsatz "Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe",
veroeffentlich im "Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung"
(Teubner, Leipzip, 1925) auf Seite 251 ff, heisst es:
"Wir behandeln im folgenden einige Konsequenzen der intuitionistischen
These, die aussagt, dass die unbeschraenkte Gueltigkeit des logischen
Satzes vom ausgeschlossenen Dritten nur [...] fuer solche Teile der
Naturwissenschaften [gilt], auf die sich ein bestimmtes, endliches
mathematisches System projizieren laesst." [1]

In einer Fussnote dazu weiterhin:
"Der Glauben an die unbeschraenkte Anwendbarkeit des Satzes vom
ausgeschlossenen Dritten beim Studium der Naturgesetze impliziert mithin
den Glauben an die Endlichkeit und an den atomistischen Bau der Welt.
Das heiszt aber nicht, dass fuer den Physiker, der den letzteren Glauben
besitzt, die intuitionistische Kritik bedeutungslos waere, denn die
Rechenmethoden, denen er sich bedient, berufen auf
Kontinuitaetsmathematik, mithin auf Unendlichkeitsmathematik." [2]

Nimmt man diese Kritik wirklich ernst, ergeben sich einige brisante
Konsequenzen. Beispielsweise relativiert sich Feynmans Aussage, das
Weltbild der modernen Naturwissenschaft lasse sich in dem Satz
zusammenfassen, alles beruhe auf "kernigen Strukturen".

Viel wichtiger ist aber: Mathematik ist vielleicht (sollte diese Kritik
zutreffen) nicht die neutrale, ueber kosmologische Grundannahmen
stehende "Formalwissenschaft" als die sie einige Leute sehen, sondern
sie beinhaltet schon systematisch kosmologische Spekulationen, die
zutreffen koennen oder nicht, deren Richtigkeit sich aber mit den
Mitteln der Mathematik alleine nicht entscheiden laesst.
Auch ihr Status als die einzige Wissenschaft, in der sich entscheidende
Beweise fuehren lasen, ist damit zum Teil in Frage gestellt, denn die
Annahmen, auf denen die Beweise beruhen, koennten sich durch
nachtraegliche kosmologische Forschung als falsch oder unvollstaendig
herausstellen.

Es stellt sich natuerlich die Frage: Wieso sollte es so sein? Wieso
"darf" man in einer endlichen, koernigen Welt den Satz vom
ausgeschlossenen Dritten anwenden, muss in einer unendlichen,
kontinuierlichen dagegen zweifel haben?
Eine Antwort kann uns P. Lorenzen in /Zur Begründung der zweiwertigen
Aussagenlogik/ geben (Januar 1954, Archiv fuer mathematische Logik und
Grundlagenforschung, Heft 2/1, Seite 109). Dort heisst es auf Siete 110:
"Ein [..] (n-tupel) von deskriptiven Aussagen A1,..., An möge eine
Deskription heissen." [3]
Fuer jede widerspruchsfreie Deskriptionen gilt sodann:
A ist nun eine wahre Aussage (ableitbar), wenn sie in der Deskription
(D) enthalten ist, sonst ist ~A (die Negation) wahr. Der Beweis für
diese Aussage findet sich auf Seite 111.
Damit ist der Satz vom ausgeschlossenen Dritten fuer /solche/ Systeme
gesichert, nicht jedoch fuer groessere.


(Jeweils Umlaute entfernt usw.)
[1] http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...1857X_0033
[2] Ebenda, Fussnote 2, Seite 251 f.
[3] http://gdz.sub.uni-goettingen.de/de...31524_0002
 

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#1 ram
27/10/2013 - 02:25 | Warnen spam
Fritz Wuehler writes:
Annahmen, auf denen die Beweise beruhen, koennten sich durch
nachtraegliche kosmologische Forschung als falsch oder unvollstaendig
herausstellen.



Es wird gar nicht angenommen, daß diese Annahmen (die Axiome)
wahr sind. Es wird nur verlangt, daß sie verstàndlich und
widerspruchsfrei sind. (Insoweit man dies nicht beweisen kann,
wird man wenigstens solche Axiomensysteme ausschließen, die
bereits als unverstàndlich oder widersprüchlich erkennbar sind).

Dann kann man untersuchen, was daraus folgen würden, /wenn
die Axiome wahr wàren/, ohne daß man annehmen muß, daß sie wahr
sind. Die Mathematik bezieht sich ja nicht direkt auf die
physikalische Welt. Daher kann auch nichts in der Mathematik
durch kosmologische Forschung falsifiziert werden.

Wenn man genug Vermögen besitzt, um Forschungen selber zu
finanzieren, dann steht es einem ja frei, einige sonst
übliche Annahmen zu verwerfen und zu erforschen, was dann
daraus folgt.

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