Epsion-Partition

01/08/2008 - 14:53 von Daniel | Report spam
Da ich heute schon so aktiv bin, hab ich gleich noch eine Frage:

Eine beschrànkte Funktion f ist genau dann riemannintegrierbar, wenn ein

Epsilon>0 existiert sodass für eine Epsilonpartition P(Epsion) gilt:

U(P(esp),f)-L(P(esp),f)<esp

Wenn eine Partition beispielsweise P=[a,b]={a=x0<=x1<=<=xn=b}.
Wie ist hier die Epsilonpartition definiert?

MfG
 

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#1 mathemator
01/08/2008 - 15:44 | Warnen spam
Daniel wrote:

Da ich heute schon so aktiv bin, hab ich gleich noch eine Frage:

Eine beschrànkte Funktion f ist genau dann riemannintegrierbar, wenn ein

Epsilon>0 existiert sodass für eine Epsilonpartition P(Epsion) gilt:

U(P(esp),f)-L(P(esp),f)<esp

Wenn eine Partition beispielsweise P=[a,b]={a=x0<=x1<=<=xn=b}.
Wie ist hier die Epsilonpartition definiert?



Ich kenne zwar nicht den Begriff der Epsilonpartition, aber
sinnvollerweise könnte damit eine zu vorgegebenem eps ermittelte
Partition gemeint sein, für welche die Differenz von Ober- und
Untersumme kleiner als eps ist (,was zur Folge hat, dass Ober- und
Unterintegral übereinstimmen.)

U(P(eps)) soll wohl die zur Partition gehörende Ober- und L(..) die
zugehörige Untersumme sein.

Wie fast immer, wenn eine Definition von der Existenz eines Epsilons mit
bestimmten Eigenschaften spricht, wurden hier Quantoren vertauscht. Denn
wenn z.B: s und f Supremum bzw. Infimum der betrachteten Funktion und
auf [a;b] definierten Funktion sind, ist zu einer beliebigen Partion für
eps = (b-a)*(s-i) stets U(P,f)-L(P,f)<eps; dann wàre also jede
beschrànkte Funktion Riemann-integrierbar.

Gemeint ist wohl, dass es zu jeder positiven Zahl eps eine Zerlegung
P = (x0, x1, x2, ..., xn) mit a = x0 <= x1 <= x2 <= ... <= xn = b gibt,
für die U(p) - L(P) < eps gilt.

Dabei ist U(P) die Summe der Produkte der Form
(x_i+1 - x_i)*sup{f(x)| x aus [x_i; x i+1] ,
wobei der Index i von 0 bis n-1 làuft.

Analog wird die Untersumme L(P) definiert; lass dir auch noch mal die
Notation für eine Partition erklàren; es gibt hier mehrer Möglichkeiten,
aber " P=[a,b]={a=x0<=x1<=<=xn=b} " gehört nicht dazu.

Klaus-R.

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