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Erwartungswert 1 für Zufallstreffer bei Permutation

01/07/2012 - 17:07 von Helmut Richter | Report spam
Man hat n Elemente, die durch Permutation in die richtige Reihenfolge
gebracht werden sollen. Da gibt es Permutationen, bei denen 0, 1, ...,
n-2, n der Elemente auf dem richtigen Platz landen. Was ist der
Durchschnittswert über alle Permutationen?

Ich habe ein paar Beispiele gerechnet mit Anzahl von Derangements und
Anzahl der Möglichkeiten für die übrigen. Es ist immer 1 herausgekommen,
unabhàngig von n. Ich könnte das in einer stillen Stunde zu beweisen
versuchen, suche aber nach einer *einfachen* Begründung, also nicht aus
Summenformeln über Ausdrücke mit Binominalkoeffizienten hergeleitet.
Vielleicht gibts die ja, wenn man die Sache von einer ganz anderen Seite
angeht. Weiß da einer was?

Helmut Richter
 

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#1 Marko Renner
01/07/2012 - 18:31 | Warnen spam
Am 01.07.2012 17:07, schrieb Helmut Richter:
Man hat n Elemente, die durch Permutation in die richtige Reihenfolge
gebracht werden sollen. Da gibt es Permutationen, bei denen 0, 1, ...,
n-2, n der Elemente auf dem richtigen Platz landen. Was ist der
Durchschnittswert über alle Permutationen?

Ich habe ein paar Beispiele gerechnet mit Anzahl von Derangements und
Anzahl der Möglichkeiten für die übrigen. Es ist immer 1 herausgekommen,
unabhàngig von n. Ich könnte das in einer stillen Stunde zu beweisen
versuchen, suche aber nach einer *einfachen* Begründung, also nicht aus
Summenformeln über Ausdrücke mit Binominalkoeffizienten hergeleitet.
Vielleicht gibts die ja, wenn man die Sache von einer ganz anderen Seite
angeht. Weiß da einer was?



Jedes Element ist in 1/n aller Permutationen an seinem
Platz (in (n-1)/n aller Permutationen ist es an einem
der n-1 anderen Plàtze).
Es gibt n Elemente, also sind im Schnitt pro Permutation
n*(1/n)= 1 an ihrem Platz.

Marko

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