Erwartungswert in der Quantenmechanik

09/07/2008 - 20:04 von Lukas-Fabian Moser | Report spam
Hallo,

ein Mathematiker versucht, Quantenmechanik zu verstehen und ...
scheitert schon ziemlich früh.

Sakurai (Modern Quantum Mechanics, S. 25/34) definiert den
Erwartungswert eines Operators A bezüglich eines Zustands |psi> durch

<A> := <A>_|psi> := <psi|A|psi>.

Bei der Behandlung der Unschàrferelation definiert er nun, gegeben
eine Observable A, einen Operator

Delta A := A - <A>.

Da ist schon das erste Problem: <A> sollte ja wohl ein Operator vom
Hilbertraum in die komplexen (und meistens sogar die reellen) Zahlen
sein. Streng formal dürfte man eine Differenz wie A - <A> gar nicht
hinschreiben. Vermutend, daß so etwas gemeint sein könnte wie

Delta A |psi> := A|psi> - <A>_|psi> |psi>

(also Skalare als Multiplikation auffassend), lese ich einfach mal
weiter.

Als nàchstes berechnet Sakurai den Erwartungswert von (Delta A)^2 zu

<(Delta A)^2> = <(A^2 - 2A<A> + <A>^2)> = <A^2> - <A>^2.

Natürlich kenne ich diese Rechnung (Erwartungswert und Varianz tauchen
ja schließlich nicht nur in der Quantenmechanik auf), aber in diesem
Zusammenhang erstaunt sie mich schon einigermaßen. Denn vertauschen
denn die Operatoren A und <A> überhaupt? Und was ist mit <A<A>>, ist
das wirklich dasselbe wie <A>^2? Ganz abgesehen davon, daß Sakurai
spàter noch schreibt, Delta A sei ja offensichtlich hermitesch, und
mit meiner Deutung der Differenz A - <A> ist dieser Operator ziemlich
sicher nicht einmal linear, wàhrend Sakurai schon weiter vorne (S. 15)
explizit sagt, mit einer einzigen Ausnahme in einem spàteren Kapitel
seien alle Operatoren in diesem Buch linear.

Was mache ich falsch?

Grüße, Lukas
 

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#1 Paul Hühnermoor
09/07/2008 - 20:20 | Warnen spam
Lukas-Fabian Moser schrieb:

Hallo,

ein Mathematiker versucht, Quantenmechanik zu verstehen und ...
scheitert schon ziemlich früh.

Sakurai (Modern Quantum Mechanics, S. 25/34) definiert den
Erwartungswert eines Operators A bezüglich eines Zustands |psi> durch

<A> := <A>_|psi> := <psi|A|psi>.

Bei der Behandlung der Unschàrferelation definiert er nun, gegeben
eine Observable A, einen Operator

Delta A := A - <A>.

Da ist schon das erste Problem: <A> sollte ja wohl ein Operator vom
Hilbertraum in die komplexen (und meistens sogar die reellen) Zahlen
sein. Streng formal dürfte man eine Differenz wie A - <A> gar nicht
hinschreiben.



Wenn in der QM ein Skalar lambda mit Operator A addiert wird, meint man
damit eigentlich immer das lambda-fache der Identitàt bzw. der
Einheitsmatrix, also A + lambda := A + lambda * id

Löst das dein Problem?

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