Erwartungswert und Binominalverteilung

16/02/2009 - 22:09 von Ernst Baumann | Report spam
Hallo allerseits,
Fall1:
eine Bank vergibt einen Kredit von K = 4 Euro. Die Wahrscheinlichkeit,
dass sie ihn wieder zurückbekommt sei p= 0,75
Der durchschnittliche "Zurückerhalt" Z ist also:
Z = K*p = 4 * 0,75 = 3

Fall2:
Die Bank vergibt den Kredit K von 4 Euro aber aufgeteilt (gestückelt)
an 4 Kreditnehmer, die jeweils 1 Euro bekommen.
Dies wird als 4 unabhàngige Ereignisse gewertet mit einer
Binominalverteilung.
Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 1 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 1 * (1-p)^3*p = 4 * (1-p)^3*p =
Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 2 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 2 * (1-p)^2*p^2 = 6 * (1-p)^2*p^2
Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 3 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 3 * (1-p)^1*p^3 = 4 * (1-p)^1*p^3
Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 4 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 4 * (1-p)^0*p^4 = 1 * (1-p)^0*p^4

Der durchschnittliche "Zurückerhalt" Z ist also:
Z = 1 * [4*(1-p)^3*p] + 2 * [6*(1-p)^2*p^2] + 3 * [4*(1-p)*p^3] + 4 *
[1*(1-p)^0*p^4]
Das sieht aber auch nach der Definition des Erwartungswerts E(X) aus !
also:
Z = E(X) = n * p = 4 * 0,75 = 3

D.h.
Fall1 und Fall2 liefern den gleichen durchschnittlichen "Zurückerhalt"
Z.

Frage:
Wie ist das im allgemeinen Fall, wenn der Kredit K auf n Kredite Ki
aufgeteilt wird, also:
K = K1 + K2 + K3 + ... Kn

1) kommt dann wieder der gleiche durchschnittliche Zurückerhalt Z
raus?
2) gibt es einen Zusammenhang zwischen Z und dem Erwartungswert E(X)?
E(X) ist - soweit ich weiß - auf die Ereignisse 1, 2, 3, ... bezogen,
also:
E(X) = 1 * p(1) + 2 * p(2) + ...


mfg
Ernst
 

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#1 Stephan Gerlach
16/02/2009 - 23:47 | Warnen spam
Ernst Baumann schrieb:

Fall1:
eine Bank vergibt einen Kredit von K = 4 Euro. Die Wahrscheinlichkeit,
dass sie ihn wieder zurückbekommt sei p= 0,75
Der durchschnittliche "Zurückerhalt" Z ist also:
Z = K*p = 4 * 0,75 = 3



Du hast hier eine Zufallsvariable (die du im folgenden "Fall2" mit X
bezeichnest), die nur 2 Werte annehmen kann, 0 und 4.

Fall2:
Die Bank vergibt den Kredit K von 4 Euro aber aufgeteilt (gestückelt)
an 4 Kreditnehmer, die jeweils 1 Euro bekommen.
Dies wird als 4 unabhàngige Ereignisse gewertet mit einer
Binominalverteilung.



An dieser Stelle könnte man noch der Ordnung halber
"...Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 0 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 0 * (1-p)^3*p = 4 * (1-p)^3*p..."
einfügen, was natürlich zum Erwartungswert nichts beitràgt :-) .

Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 1 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 1 * (1-p)^3*p = 4 * (1-p)^3*p =
Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 2 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 2 * (1-p)^2*p^2 = 6 * (1-p)^2*p^2
Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 3 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 3 * (1-p)^1*p^3 = 4 * (1-p)^1*p^3
Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 4 Euro wieder erhalten wird
ist: 4 über 4 * (1-p)^0*p^4 = 1 * (1-p)^0*p^4

Der durchschnittliche "Zurückerhalt" Z ist also:
Z = 1 * [4*(1-p)^3*p] + 2 * [6*(1-p)^2*p^2] + 3 * [4*(1-p)*p^3] + 4 *
[1*(1-p)^0*p^4]
Das sieht aber auch nach der Definition des Erwartungswerts E(X) aus !



Wenn du den ersten Summanden 0 * [1*(1-p)^4*p^0] formal einfügst, ist
das in der Tat die allgemeine Gleichung (kann man in gewissem Rahmen als
Definition ansehen) des Erwartungswertes für diskrete Zufallsvariablen
(mit nur endlichem Wertebereich), angewendet auf deine spezielle
binomialverteilte Zufallsvariable X.

also:
Z = E(X) = n * p = 4 * 0,75 = 3



E(X) = n * p gilt nur in dem Fall, wo man eine binomialverteilte
Zufallsvariable X (mit Parametern n und p) hat. Was natürlich bei dir
der Fall ist.

D.h.
Fall1 und Fall2 liefern den gleichen durchschnittlichen "Zurückerhalt"
Z.



Was bei genauer/allgemeiner Betrachtung nicht überraschend ist:

Frage:
Wie ist das im allgemeinen Fall, wenn der Kredit K auf n Kredite Ki
aufgeteilt wird, also:
K = K1 + K2 + K3 + ... Kn



Sollen die n Kredite Ki alle gleich groß sein, was Ki = K/n bedeuten
würde? Ist die "Rückzahl-Wahrscheinlichkeit" für jeden Kredit gleich
groß? Zumindest erstere Frage ist sogar unerheblich für das Ergebnis:

Seien X die Zufalls(!)variable

X := gesamter Zurückerhalt.

X kann nun allerlei mögliche Werte annehmen. Z.B. könnte es im
ungünstigsten Fall sein, daß keiner der n Kredite zurückgezahlt wird.
Dann wàre X = 0. Wenn hingegen im günstigsten Fall alle Kredite
zurückgezahlt werden, ist X = K. Auf alle Fàlle wird X irgendwo zwischen
0 (minimal) und K (maximal) liegen; aber auch alle möglichen
Zwischen-Werte sind möglich, z.B. K1+K2, K1+K2+K3, K1+K3, K1, K2, K3,
K3+Kn, Kn, ... usw. Wenn die Ki *nicht* alle gleich groß sind, sind das
bereits eine ganze Menge möglicher Werte, die X annehmen kann.
Wenn man nun den gesuchten Erwartungswert E(X) von X ausrechnen will,
wird das recht mühselig, da man zudem noch sàmtliche
Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Werte von X ausrechnen müßte und
damit dann den E(X). (*)
Es gibt aber einen "Trick", mit dem man sich die Sache wesentlich
vereinfachen kann. Wir führen zusàtzlich zu X die Zufallsvariablen X1,
X2, ... , Xn ein

X1 := Zurückerhalt aus Kredit K1
X2 := Zurückerhalt aus Kredit K2
...
Xn := Zurückerhalt aus Kredit Kn.

Jede dieser Zufallsvariablen Xi ist für sich genommen sehr einfach
strukturiert, denn Xi kann jeweils nur die Werte 0 oder Ki annehmen.
Es sei pi die "Rückzahl-Wahrscheinlichkeit", daß Kredit Ki zurückgezahlt
wird. Dadurch, daß jedes Xi nur 2 Werte annehmen kann, wird es sehr
einfach, für die E(Xi)'s zu berechnen:

E(Xi) = Ki*pi + 0*(1-pi) = Ki*pi.

Im Folgenden machen wir uns 2 Fakten zunutze, die es uns wesentlich
vereinfachen, den E(X) zu berechnen, ohne(!) die Verteilung von X zu kennen:

1.) Wir können X darstellen als X1+X2+...+Xn.
2.) Die sogenannte "Linearitàt des Erwartungswertes", die besagt
E(a*A+b*B) für *alle* Zufallsvariablen A, B und alle Konstanten a, b.
In unserem Fall wird das

E(X) = E(X1+X2+...+Xn)
= E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)
= K1*p1 + K2*p2 + ... + Kn*pn.

Im Fall, daß sogar p1 = p2 = ... = pn gilt, kann ich also im erhaltenen
Ergebnis für alle pi's p1 schreiben, und es vereinfacht sich zu

E(X) = K1*p1 + K2*p1 + ... + Kn*p1
= (K1+K2+...+Kn)*p1
= K*p1.

1) kommt dann wieder der gleiche durchschnittliche Zurückerhalt Z
raus?



Wenn man davon ausgeht, daß für alle n Kredite dieselbe
Rückzahl-Wahrscheinlichkeit p besteht, ja. Es kommt dann immer, wie
gerade gesehen, Z = K*p raus.

2) gibt es einen Zusammenhang zwischen Z und dem Erwartungswert E(X)?



Was war/ist bei dir denn X? Oben hast du selber doch Z gerade als den
Erwartungswert der *Zufalls*variable X definiert.
Die "logische" Reihenfolge ist so:
- du hast eine Zufallsvariable X, die verschiedene Werte annehmen kann
- von X kannst du den Erwartungswert E(X) berechnen
- dieser Erwartungswert kann eine praktischen Bedeutung haben; in diesem
Fall *ist* E(X) der "durchschnittliche Zurückerhalt"
- den E(X) kannst du dann meinetwegen "Z" nennen (wird meistens in der
Mathematik nicht gemacht, um "optisch" abzugrenzen, was Zufallsvariable
und was Erwartungswert ist)

E(X) ist - soweit ich weiß - auf die Ereignisse 1, 2, 3, ... bezogen,



(In diesem Fall) nein.
E(X) ist auf eine Zufallsvariable X bezogen. In deinem allgemeineren
Beispiel beschreibt X gerade den *gesamten* möglichen Zurückerhalt; also
bezieht sich E(X) auch genau da drauf. Der gesamte mögliche Zurückerhalt
kann aber gerade nicht die Werte 1, 2, 3, ... , n annehmen, sondern
"sehr viel mehr Werte". Der Wert von X hàngt davon ab, welche der
Kapitale Ki zurückgezahlt werden und welche nicht.
Das sind insbesondere sehr viel mehr als nur n mögliche Werte, die X
annehmen kann.

also:
E(X) = 1 * p(1) + 2 * p(2) + ...



Es wàre sehr viel komplizierter; siehe oben (*) in meiner ausführlichen
Rechnung. Da ja, da eben *nicht* 1, 2, ... vorkommen, man auch noch
völlig andere Wahrscheinlichkeiten hàtte...



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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