Erwartungswert und Random Walk

10/08/2013 - 12:00 von Daniel Schütz | Report spam
Hallo,

ein Beispiel aus der Biologie. Es gibt eine Population mit vielen Individuen. Jedes Individuum tràgt zwei von zwei möglichen Genvarianten in sich, wobei zufàllig eine Variante von Mutter und eine vom Vater auf Nachkommen weitergegeben wird. Die Hàufigkeit dieser Genvarianten sein mit p bzw. q bezeichnet. Die Hàufigkeiten q = 1 - p lassen sich also an Random Walk simulieren, wobei letztendlich nur eine der beiden Genvarianten überleben wird (d. h. entweder wird q = 1 und p = 0 oder p = 1 und q = 0. Wenn die Hàufigkeiten in der nullten Generation p = 0,6 und q = 0,4 sind, ist dann der Erwartungswert für p in der t-ten Generation E(p_t) immernoch 0,6? oder steigt tatsàchlich der Erwartungswert mit der Lage des Anfangswertes an, da aufgrund der zufàlligen Verànderung der Hàufigkeiten eine Fixierung einer Genvariante einfach wahrscheinlicher Ist, je nàher ihr Anfangswert an 1 liegt?
 

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#1 Stephan Gerlach
13/08/2013 - 13:44 | Warnen spam
Daniel Schütz schrieb:
Hallo,

ein Beispiel aus der Biologie. Es gibt eine Population mit vielen Individuen.
Jedes Individuum tràgt zwei von zwei möglichen Genvarianten in sich,


^^^^
Sollte das vielleicht *eine* von zwei heißen? Oder tatsàchlich zwei?
D.h. am Anfang hàtten demnach *alle* Individuen sowohl Genvariante A als
auch B in sich?
Oder heißt es (was vielleicht am sinnvollsten wàre), daß folgende
Konstellationen pro Individuum möglich sind:
AA, AB, BA, BB?

wobei zufàllig eine Variante von Mutter und eine vom Vater auf Nachkommen weitergegeben wird.



Angenommen, oben heißt es tatsàchlich "zwei von zwei":
Dann kann es ja sein, daß der Vater A und die Mutter A an den Nachkommen
weitergeben. Dann ist es auf jeden Fall möglich, daß ein Nachkomme
*kein* B hat.

Die Hàufigkeit dieser Genvarianten sein mit p bzw. q bezeichnet.
Die Hàufigkeiten q = 1 - p lassen sich also an Random Walk simulieren,
wobei letztendlich nur eine der beiden Genvarianten überleben wird
(d. h. entweder wird q = 1 und p = 0 oder p = 1 und q = 0.



Das ist nicht absolut sicher. Übrigens solltest du auch deine
Bezeichnungen "didaktisch" günstig wàhlen:

Wenn die Hàufigkeiten in der nullten Generation p = 0,6 und q = 0,4 sind,



Es besser, hier von p_0 und q_0 zu sprechen und gar nicht von p und q.
Und allgemein von p_t und q_t. D.h. du hast zwei Folgen (p_t) und (q_t)
von Zufallsvariablen, von denen du lediglich die Verteilung von p_0 und
von q_0 als bekannt voraussetzt:
P(p_0 = p) = 1
P(q_0 = q) = 1
q und p sind sozusagen die gegebenen "Startwerte". Und die
Zufallsvariablen p_0 und q_0 sind konstante Zufallsvariablen.

ist dann der Erwartungswert für p in der t-ten Generation E(p_t) immernoch 0,6?



Das ist der Erwartungswert für p_t; nicht für p. p ist ein konstanter,
gegebener Wert (hier: 0,6).
Übrigens ist E(p_t) eher *nicht* 0,6.

oder steigt tatsàchlich der Erwartungswert mit der Lage des Anfangswertes an,
da aufgrund der zufàlligen Verànderung der Hàufigkeiten eine Fixierung einer Genvariante
einfach wahrscheinlicher Ist, je nàher ihr Anfangswert an 1 liegt?



Ohne das genauer zu analysieren: E(p_t) sollte monoton mit t wachsen,
wenn p > 1/2 ist, und sollte für t gegen unendlich gegen 1 konvergieren.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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