Es gibt eine reelle Zahl die in der Menge der reellen Zahlen nicht enthalten ist? Ein weiteres Absurdum des cantorschen Diagonalargumentes.

28/06/2009 - 14:12 von Albrecht | Report spam
Theorem: Das Diagonalargument von G. Cantor ist absurd und beweist
nichts.

Beweis:
Gegeben sei eine dreidimensionale Matrix aller reellen Zahlen derart,
dass zu einer geeigneten unendlichen Liste reeller Zahlen jeder darin
enthaltenen Zahl eine überabzàhlbare Menge weiterer reeller Zahlen
zugeordnet ist.

Und zwar sind der ersten Zahl der Liste alle reellen Zahlen zugeordnet,
die in der Ziffer der ersten Stelle übereinstimmen, der zweiten Zahl der
Liste sind alle reellen Zahlen zugeordnet die in der Ziffer der zweiten
Stelle übereinstimmen, etc.

Eine über diese Liste gebildete Antidiagonalzahl ist damit verschieden
von jeder Zahl der Matrix die aus aleph_0 X aleph_1 Zahlen besteht.

QED

Gruß
Albrecht
 

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#1 Roland Franzius
28/06/2009 - 14:32 | Warnen spam
Albrecht schrieb:
Theorem: Das Diagonalargument von G. Cantor ist absurd und beweist
nichts.

Beweis:
Gegeben sei eine dreidimensionale Matrix aller reellen Zahlen derart,
dass zu einer geeigneten unendlichen Liste reeller Zahlen jeder darin
enthaltenen Zahl eine überabzàhlbare Menge weiterer reeller Zahlen
zugeordnet ist.

Und zwar sind der ersten Zahl der Liste alle reellen Zahlen zugeordnet,
die in der Ziffer der ersten Stelle übereinstimmen, der zweiten Zahl der
Liste sind alle reellen Zahlen zugeordnet die in der Ziffer der zweiten
Stelle übereinstimmen, etc.

Eine über diese Liste gebildete Antidiagonalzahl ist damit verschieden
von jeder Zahl der Matrix die aus aleph_0 X aleph_1 Zahlen besteht.

QED



Du verkennst womöglich, dass fast alle reellen Zahlen als
Äquvalenzklassen Cauchy-konvergenter Folgen sich keineswegs über deine
abzàhlberen Folgenwege durch das Anhàngen von Ziffern in einer Folge der
Zahldarstellung definieren lassen.

Dein Argument zeigt zwar, dass eine solche Folge existieren muss, dass
sie auch in eine Liste aufgenommen werden kann, aber das das nicht
unabhàngig von der Existenz beliebig im Baum springender Folgen gedacht
werden kann. Sie entsteht üblicherweise durch Trunkieren einer
Querbeetfolge und ist zwar ein Repràsentant, aber keiner, mit dem man
Rechnen kann.

Da das Hinzunehmen selbst abzàhlbar unendlich vieler solcher Zahlen die
abzàhlbare Liste nicht übers Abzàhlbare vergrößert, bringt dieses Denken
außer geschlossenen Zirkeln nichts Wesentliches zum Thema hervor.

Wer hàtte vor Borwein/Pluffe schon gedacht, dass für pi ein
Zifferngenerationsprogramm existiert.

Das Problem sind nicht die Mengenlehrer sondern die Menschen mit
unterentwickeltem Vorstellungsvermögen, die ihr abgeschlossenes
Kreiseldenken für allgemeinverpflichtend halten.

Also bleibt als Erkenntis, dass Logik und Grundlagenmathematik für den
gesunden Menschverstand über weite Strecken absurd ist. Das ist auch
nichts Neues, wie schon die Alten wussten.

Man ràt daher Studenten auch, sich erst mit den logieschen
Grundlagenfragen zu beschàftigen, wenn sie einen genügend weiten
Überblick gewonnen haben, damit sich nicht von der Antikolumbusfraktion
Komplexe beim Reisen aufschwàtzen lassen, und folgt damit dem
historischen Ablauf.


Roland Franzius

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