Euklidisch vs Norm-Euklidisch

17/06/2011 - 11:40 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
hier sind mal wieder mathematische Fragen.

Gibt es euklidische Zahlkörper, die jedoch nicht bezüglich der Norm
euklidisch sind? Wenn ja, gibt es davon auch quadratische Zahlkörper?

Ist jeder faktorielle Zahlkörper ein Hauptidealring? Wie sieht das für
quadratische Zahlkörper aus?

(Meine Vermutung: Ja, nein, ja, genauso.)


Viele Grüße Jan
 

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#1 Jan Fricke
17/06/2011 - 16:17 | Warnen spam
Hallo Jan,
On 06/17/2011 11:40 AM, Jan Fricke wrote:
Hallo,
hier sind mal wieder mathematische Fragen.

Ist jeder faktorielle Zahlkörper ein Hauptidealring?


Ja, das ist tatsàchlich so.

Es reicht, die Behauptung für jedes Primideal π zu zeigen. Ein solches
ist Teiler einer ganzzahligen Primzahl p, die in das Produkt p_1...p_k
zerfalle. Dann ist jedoch:
π | (p) = (p_1) * ... * (p_k),
und wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung
π = (p_i)
für ein i, also ist π ein Hauptideal.


Die andere Frage scheint etwas schwerer zu sein, vielleicht kann Dir da
ja jemand anderes einen Tipp geben.


Viele Grüße Jan

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