Exponentialabschaetzung

06/03/2009 - 07:01 von earthnut | Report spam
Weil hier gerade alle so schön am rumsummen sind, hier etwas was ich
neulich gefunden habe.

Die Summe für die Exponentialfunktion ist bekanntlich

exp(n) = sum(k=0..oo, n^k/k!) .

Bröselt man diese für natürliches n bei k=n auf ergibt sich

exp(n) = sum(k=0..n, n^k/k!) + sum(k=n+1..oo, n^k/k!) = A(n) + B(n)

mit

A(n) = sum(k=0..n, n^k/k!)

und

B(n) = sum(k=n+1..oo, n^k/k!) .

Auffàllt, dass

n^k/k! >= n^(k-1)/(k-1)! = n^k/k! * k/n

solange k <= n ist, und dass

n^k/k! > n^(k+1)/(k+1)! = n^k/k! * n/(k+1)

sobald k > n ist.

Die Summanden in A(n) steigen also monoton, wohingegen die Summanden in
B(n) monoton fallen.

Meine Vermutung ist nun, dass sogar

A(n) ~ B(n)

für große n gilt, dass also

lim[n -> oo, A(n)/B(n)] = 1

ist.

Ist es irgendwie unmittelbar einsichtig, dass A(n) und B(n) jeweils etwa
den gleichen Beitrag zu exp(n) liefern?

Mit freundlichen Grüßen,

Bastian
 

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#1 Martin Frisch
09/03/2009 - 17:43 | Warnen spam
Ist es irgendwie unmittelbar einsichtig, dass A(n) und B(n) jeweils etwa
den gleichen Beitrag zu exp(n) liefern?




P_n(k) = n^k/k!

ist für festes n nun gerade eine Poissonverteilung, die für grosse n
gegen eine Normalverteilung geht (zentraler Grenzwertsatz), deren
Flàchen zu beiden Seiten des Scheitelpunktes (aka A(n) und B(n) ) dann
gleich gross werden.

Grüsse,
Martin

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