Extensionalität und unendliche Mengen

15/08/2012 - 13:17 von Albrecht | Report spam
Das Extensionalitàtsprinzip besagt, dass Mengen selbst keine Eigenschaften besitzen. So gibt es neben der Menge {1, 2, 3} keine davon verschiedene Mengen
{1, 2, 3}_grün oder {1, 2, 3}_rot.
Und wenn [1, 2, 3] eine Menge ist, so gilt [1, 2, 3]={1, 2, 3}.

Mengen unterscheiden sich einzig und alleine in ihren jeweiligen Elementen. Dies ist das Extensionalitàtsprinzip.

Somit ist es unbestritten, dass die Anzahl der Mengen, die etwa aus der Grundgesammtheit der Elemente 1, 2, 3 gebildet werden können, mit den Regeln der Kombinatorik bestimmt werden können (unter besonderer Berücksichtigung der leeren Menge, natürlich).

Wenn man nur Anfangsabschnitte betrachtet, werden die Verhàltnisse noch einfacher. Auf der Grundgesammtheit 1, 2, 3 gibt es genau drei verschiedene Anfangsabschnitte: {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}. (Ich denke {} zàhlt man nicht zu den Anfangsabschnitten, aber im Zusammenahng egal.) Niemand wird ernsthaft behaupten können, es würden weitere Anfangsabschnitte vorliegen. Etwa eine Menge {1, 2, 3}* <> {1, 2, 3}.

Diese triviale Tatsache, die sich aus den Gegebenheiten unserer Realitàt und unserer Logik ergeben, wird in ZFC bzw. bei Anwendung des Unendlichkeitsaxioms ausser Kraft gesetzt ohne dass irgend jemand dafür eine Erklàrung hat.

Plötzlich soll es neben den endlichen Anfangsabschnitten, in denen jede natürliche Zahl schon aufgetreten ist, mindestens einen weiteren Anfangsabschnitt geben: die berühmte Menge mit den drei Pünktchen {1, 2, 3, ...}.

Diese "Menge" entspricht vom Prinzip her einer "Menge" wie
{1, 2, 3}* (<> {1, 2,3}), denn sie wird nicht durch ihre Elemente konstitutioniert, sondern durch eine Eigenschaft die nicht den Elementen, sondern der Menge selbst zuzurechnen ist: dem Unendlichsein.

Wer das Extensionalitàtsprinzip verstanden hat sieht, dass dieses hier verletzt wird.

Wenn das Extensionalitàtsaxiom von ZFC dieses Prinzip nicht korrekt abbildet, also eine solche nicht-extensionale Menge zulàsst, so ist dieses Axiom falsch, im Sinne von "unrealistisch".

Sollte diese Tatsache bisher noch keinem Mathematiker oder Logiker aufgefallen sein, so wàre es wirklich schlecht um diese Zünfte bestellt.

Aber ich vermute eher einen anderen Grund warum dies nirgends thematisiert wird: es interessiert einfach nicht, da niemand (ausser dsm-Postern) die moderne Mengenlehre wirklich ernst nimmt.

AS
 

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#1 Klaus Cammin
16/08/2012 - 02:30 | Warnen spam
Albrecht schrieb:
Wer das Extensionalitàtsprinzip verstanden hat sieht, dass dieses hier
verletzt wird.



Ist das wirklich so blöd, wie ich denke?

Also: Du definierst eine Bijektion:
B_1: {1,2,3} --> {{1}, {1,2}, {1,2,3}} Ok.

Dann gehst Du zur Grundgesamtheit aller endlichen Anfangsstücke über, was
folgender Bijektion entspricht:

B_2: IN := {1,2,3,...} --> {{1},{1,2},{1,2,3},...}

Dann behauptest Du bzw. unterstellst, Mathematiker würden das behaupten,
IN={1,2,3,...} müsse als "unendlicher Anfangsabschnitt" unbedingt zu Z:{{1},{1, 2},{1, 2, 3},...} dazugehören. Tut zwar keiner, aber ok.

Man KANN IN dazutun, niemand hat was dagegen.

B_3: IN --> {{1},{1,2},{1,2,3},...,IN} (:=Z')

Aber dann ist B_3 keine Bijektion mehr! IN in Z' hat kein Urbild,
deswegen ist B_3 nicht surjektiv (d.h. f.a. n in IN gilt: B_3(n) != IN).

Und jetzt kommt Dein Taschenspielertrick: Du unterstellst eine zu Z'
gleichmàchtige Teilmenge nat. Zahlen N* und behauptest IN und N* müßten
gleich sein. Verschleiern tust Du das mit dem vagen Gelaber von:

Diese "Menge" entspricht vom Prinzip her einer "Menge" wie
{1, 2, 3}* (<> {1, 2,3})



IN und N* sind natürlich nicht gleich, denn B_3 ist nicht bijektiv. Darin
eine Verletzung des Extensionalitàtsprinzips zu sehen, ist ziemlich
bescheuert. Es ist im Gegenteil dessen Bestàtigung.

B_omega: (IN u {omega}) --> Z'
Das wàre wieder bijektiv.

Das Ganze ist doch nicht auf Deinem Mist gewachsen. Ich erinnere mich
noch, daß WM der mathematische Grundbegriff der Bijektion ziemlich egal
ist, und prügelst Du gerad auf ihm herum ...

Viele Grüße
Klaus

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