Extrapolation linearer Verhältnisse von endlichen auf unendliche Mengen

11/12/2008 - 17:35 von WM | Report spam
Cantor's Diagonalargument zeigt, dass die Antidiagonalzahl ADZ nicht
an der n-ten Stelle einer diagonalisierten Folge auftreten kann. Um
darauf zu schließen, dass die ADZ in der gesamten Folge nicht
enthalten sein kann, wird das Extrapolationsargument benötigt (und in
der Regel stillschweigend vorausgesetzt), das das lineare Verhàltnis
zwischen der Anzahl 0 von ADZ und der Anzahl 1 von Folgengliedern an
der n-ten Stelle der Folge

0/1 = 0

auf die gesamte Folge zu übertragen gestattet.

Dasselbe Argument zeigt, dass in Mengen aus n positiven geraden Zahlen
g das Verhàltnis der Anzahlen von geraden Zahlen mit g > n und von
geraden Zahlen mit g =< n niemals kleiner als 1 ist. Das Minimum des
Quotienten

|{2(n+1), 2(n+2), ..., 4n}| / |{2, 4, 6, ..., 2n}| = 1

wird in Anfangsabschnitten der Form {2, 4, 6, ..., 4n} erreicht. In
allen anderen endlichen Mengen positiver gerader Zahlen ist der
Quotient größer. Das Extrapolationsargument zeigt für die gesamte
Menge aller positiven geraden Zahlen, dass ihre Anzahl nicht größer
als alle darin enthaltenen geraden Zahlen ist.

Gruß, WM
 

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#1 Michael Lange
11/12/2008 - 20:19 | Warnen spam
Hallo WM (ist der realname in NGs nicht mehr nötig?)

du schriebst:

Cantor's Diagonalargument zeigt, dass die Antidiagonalzahl ADZ nicht
an der n-ten Stelle einer diagonalisierten Folge auftreten kann. Um
darauf zu schließen, dass die ADZ in der gesamten Folge nicht
enthalten sein kann, wird das Extrapolationsargument benötigt [...]



Hm, sicher kann man das Extrapolationsargument hier mit reinbringen.
Allerdings verkompliziert das die Sache unnötig.
Ich verstehe die Argumentation (die ADZ ist nicht an einer Stelle n e IN zu
finden => sie ist nirgends in der Folge zu finden) viel direkter:
Eine Folge (x_n) besteht eben aus ihren Folgegliedern x_n (etwas formaler
wird sicher ne brauchbare Definition daraus). Wenn ich nun für jedes n
beweisen kann, dass ADZ=!=x_n gilt, wo soll dann ADZ in der Folge noch
vorkommen?

Mfg Michael (Lange)

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