F: ein paar Summen...

27/01/2009 - 19:27 von Gottfried Helms | Report spam
Hallo alle -

ich bin zwar ziemlich sicher, geschlossene Formen zumindest
für die ersten Summen dieser Art gesehen zu haben - aber ich
habe gerade keine Idee, wo ich nachsehen könnte:
(Heuristik):

1 1 1
S_1 = - + + + ... = 1
1*2 2*3 3*4

1 1 1
S_2 = + -- + -- + ... = 1/4
1*2*3 2*3*4 3*4*5

1 1 1
S_3 = -- + - + -- + ... = 1/18
1*2*3*4 2*3*4*5 3*4*5*6

...

S_k = 1/k!/k

Gibt's hierfür einfache Herleitungen? Ich sehe gerade keinen
guten Anhaltspunkt... Für S_1 habe ich das bestimmt
mehrfach gesehen, die Grundidee fàllt mir aber partout nicht ein...

Hmm. Dirichlet-reihen...(?) mal sehen...

Gruß -
Gottfried
 

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#1 Jan Fricke
27/01/2009 - 19:54 | Warnen spam
Gottfried Helms wrote:
Hallo alle -

ich bin zwar ziemlich sicher, geschlossene Formen zumindest
für die ersten Summen dieser Art gesehen zu haben - aber ich
habe gerade keine Idee, wo ich nachsehen könnte:
(Heuristik):

1 1 1
S_1 = - + + + ... = 1
1*2 2*3 3*4

1 1 1
S_2 = + -- + -- + ... = 1/4
1*2*3 2*3*4 3*4*5

1 1 1
S_3 = -- + - + -- + ... = 1/18
1*2*3*4 2*3*4*5 3*4*5*6

...

S_k = 1/k!/k

Gibt's hierfür einfache Herleitungen? Ich sehe gerade keinen
guten Anhaltspunkt... Für S_1 habe ich das bestimmt
mehrfach gesehen, die Grundidee fàllt mir aber partout nicht ein...


Grundidee: Teleskopsumme


1/(a*...*b)-1/(a+1)*...*(b+1)=(b+1-a)/(a*(a+1)*...*b*(b+1)).

Also: n * S_n = 1/(1*...*n)


Viele Grüße Jan

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