Faßoberfläche

08/04/2012 - 19:13 von Marko Renner | Report spam
Ich brauche gerade mal die Formel für die Oberflàche eines
Fasses und habe versucht, mit eine herzuleiten.
h - Höhe
m - Radius in Faßmitte, dickste Stelle
r - Radius Deckel/Boden

Ich nehme an, dass die Dauben kreisförmig gebogen sind,
der Fassmittelpunkt liege im Koordinatenursprung, Faß
liegt, umd die x-Achse rotiert.

Dann ist der Radius der Daubenkrümmung

a + m = √((a + r)^2 + (h/2)^2)

und

a=(h^2 - 4·m^2 + 4·r^2)/(8·(m - r))

Daraus ergibt sich bei x ein Umfang von

√((a+m)^2-x^2)
bzw. eingesetzt
√(((h^2 - 4·m^2 + 4·r^2)/(8·(m - r)) + m)^2 - x^2) - (h^2 - 4·m^2 +
4·r^2)/(8·(m - r))

Das ergibt für x=0 tatsàchlich m, für x=h/2 sollte r rauskommen,
das kann ich gerade nicht nachvollziehen (wolframalpha mag nicht
weiter).

Wenn ich das richtig im Kopf habe, müßte ich doch jetzt für die
Mantelflàche das Intergral über den Umfang für x = -h/2 bis h/2
bilden. Korrekt?

Wenn ich das mit derive mache, kommt was ziemlich esoterisches
mit Kopfschmerzen raus: :)

h·(h^2 - 4·(m^2 - r^2))/(8·(m - r)) - SIGN((h^2 - 4·(m^2 - 2·m·r +
r^2))·(m - r))·((h^2 + 4·(m^2 - 2·m·r + r^2))^2·ATAN(4·h·(m - r)/(h^2 -
4·(m^2 - 2·m·r + r^2)))/(64·(m - r)^2) + h·(h^2 - 4·(m^2 - 2·m·r +
r^2))/(16·(m - r)))

Da das nicht sehr "schön" und die Herleitung nun nicht der eigentliche
Sinn ist - hat vielleicht jemand eine fertige Formel, die etwas
handlicher und eleganter ist? Oder eine Idee, wie man zu sowas kommt?
Volumen ist ja gàngig, aber eben nicht Oberflàche.

Marko
jemand eine einfachere
 

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#1 Ralf . K u s m i e r z
09/04/2012 - 02:49 | Warnen spam
X-No-Archive: Yes

begin quoting, Marko Renner schrieb:

Daraus ergibt sich bei x ein Umfang von

√((a+m)^2-x^2)
bzw. eingesetzt
√(((h^2 - 4·m^2 + 4·r^2)/(8·(m - r)) + m)^2 - x^2) - (h^2 - 4·m^2 +
4·r^2)/(8·(m - r))

Das ergibt fàŒr x=0 tatsà€chlich m, fàŒr x=h/2 sollte r rauskommen,
das kann ich gerade nicht nachvollziehen (wolframalpha mag nicht
weiter).

Wenn ich das richtig im Kopf habe, màŒàŸte ich doch jetzt fàŒr die
Mantelflà€che das Intergral àŒber den Umfang fàŒr x = -h/2 bis h/2
bilden. Korrekt?



Nicht korrekt. Nimm eine "Faßscheibe" mit den Grenzen h und h + dh.
Die hat an den Kanten die Radien r und r + dr. Um deren Oberflàche dA
zu ermitteln, mußt Du die Lànge der Verbindungslinie zwischen den
beiden Radien in der selben Meridianebene mit 2*Pi*r multiplizieren.
Die Lànge der Verbindungsstrecke ist aber nicht die Kathetenlànge dh,
sondern die Hypotenusenlànge SQRT(dh^2 + dr^2).

Und erst, wenn Du dA korrekt hast, kannst Du es über h integrieren.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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