Faerbungsproblem (1.1)

09/12/2013 - 00:42 von Rainer Rosenthal | Report spam
Ich setze fort, was unter "Faerbungsproblem (1)" begonnen
wurde und sich auf das pràchtige Buch [1] bezieht.

Diesmal betrachte ich eine Kreisscheibe mit Durchmesser 1.1.
Das tue ich aus Bosheit, denn dann ist sie so klein, dass sie
kein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlànge 1 enthalten kann.

Mit einem solchen Dreieck hann man ganz leicht zeigen, dass
die sog. chromatische Zahl der Ebene größer als 2 sein muss.
Wie man auch die Ebene mit zwei Farben, z.B. Rot und Blau,
fàrbt, man kann es nicht erreichen, dass alle Strecken der Lànge 1
verschieden gefàrbt sind.

Ist eine Ecke des Dreiecks rot, dann müssen die beiden anderen
blau sein, da sie sich im Abstand 1 von diesem Eckpunkt befinden.
Dann sind aber diese beiden Ecken von gleicher Farbe und haben
Abstand 1. Solch eine Fàrbung mit nur zwei Farben ist also un-
möglich, und das gleichseitige Dreieck hilft dabei, sich das
klar zu machen.

Frage: wieviele Farben braucht man für die Kreisscheibe mit
Durchmesser 1.1?

Für Durchmesser 1.2 ist es dann wieder leicht: mindestens 3, denn
hier passt das Dreieck 1-1-1 hinein.

Stand der Dinge:

Für Durchmesser 0.9 genügt eine Farbe.
Für Durchmesser 1.0 genügen zwei Farben
Für Durchmesser 1.1 weiß ich nichts
Für Durchmesser 1.2 braucht man mindestens 3 Farben

Die Mindestzahl für Durchmesser d nenne ich in Anlehnung an das
genannte Buch Chi(d). Klar ist, dass Chi(d1) <= Chi(d2) ist,
wenn d1 < d2 ist.
Ich vermute stark, dass Ch(1.1) = Chi(1.2) = Chi(oo) ist, wobei
Letzteres die mysteriöse chromatische Zahl der Ebene ist, die
irgendwo zwischen 4 und 7 liegt.

[1] Alexander Soifer
The mathematical Coloring Book
Mathematics of Coloring and the Colorful Life of Its Creators
Springer Verlag 2009

Gruß,
Rainer Rosenthal
 

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#1 Jan Fricke
09/12/2013 - 11:11 | Warnen spam
On 12/09/2013 12:42 AM, Rainer Rosenthal wrote:
Ich setze fort, was unter "Faerbungsproblem (1)" begonnen
wurde und sich auf das pràchtige Buch [1] bezieht.


Oh, schade, den ersten Artikel hatte ich übersehen. :(

Frage: wieviele Farben braucht man für die Kreisscheibe mit
Durchmesser 1.1?



Mindestens 3. :)
Es passt zwar kein Dreieck da hinein, aber ein (2n+1)-Stern mit
hinreichend großem n. (Das sind die Ecken eines regulàren (2n+1)-Ecks,
bei der jede Ecke mit den beiden "gegenüberliegenden" Ecken verbunden ist.)


Viele Grüße Jan

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