Falsche Voraussetzung beim Diagonalargument nach Cantor

01/09/2007 - 03:52 von Albrecht | Report spam
Hallo liebe Mathe-Freunde!

Das Diagonalargument nach Cantor geht meines Erachtens von einer
falschen Voraussetzung aus um zu beweisen, dass es mehr reelle als
natürliche Zahlen gàbe.
Vorausgesetzt wird nàmlich, dass die reellen Zahlen in _einer_
unendlichen Folge angeordnet werden müssten, um zu gewàhrleisten, dass
sie abzàhlbar wàren. Es làsst sich aber bekanntlich leicht zeigen,
dass auch zwei und auch mehr als zwei unendliche Folgen insgesamt
abzàhlbar unendlich viele paarweise verschiedene Glieder besitzen
können.
Eine abzàhlbar unendliche Folge entspricht einer w-Ordnung. Zwei
abzàhlbar unendliche Folgen entsprechen einer w+w-Ordnung. Selbst w*w-
Ordnungen, also abzàhlbar unendlich viele unendliche Folgen, können
insgesamt nicht mehr als abzàhlbar unendlich viele paarweise
verschiedene Glieder enthalten.

Betrachtet man nun zwei unendliche Folgen von reellen Zahlen aus dem
Intervall [0,1[ so können die Antidiagonalzahlen der ersten Folge in
der zweiten Folge enthalten sein, die Antidiagonalzahlen der zweiten
Folge können in der ersten Folge enthalten sein.
Diese Folgen können aber mit den natürlichen Zahlen nummeriert werden,
z.B. indem man die erste Folge mit den ungeraden, die zweite Folge mit
den geraden Zahlen nummeriert.

Nun làsst sich die Antidiagonale AD so bilden, dass die erste Ziffer
der AD von der ersten Ziffer des ersten Gliedes der ersten Folge _und_
von der ersten Ziffer des ersten Gliedes der zweiten Folge verschieden
ist, usw. Damit wàre eine reelle Antidiagonale aus [0,1[ konstruiert,
die sowohl in der ersten wie auch in der zweiten Folge nicht enthalten
sein kann.

Diesen Ausweg gibt es aber nicht mehr, wenn man zehn verschiedene
unendliche Folgen reeller Zahlen aus [0,1[ annimmt. Da es nur zehn
verschiedene Ziffern im Dezimalsystem gibt kann keine reelle Zahl aus
[0,1[ gebildet werden, die sich in der ersten Ziffer von jeder ersten
Ziffer jeden ersten Gliedes aller zehn Folgen unterscheidet, etc. Egal
wie man die Antidiagonale konstruiert, sie kann immer als Glied in
mindestens einer der zehn Folgen enthalten sein. Folglich làsst sich
mit dem Diagonalargument nicht stringent zeigen, dass diese zehn
unendlichen Folgen nicht alle reellen Zahlen aus [0,1[ als Glieder
enthalten.
Nun lassen sich aber die zehn unendlichen Folgen mit den natürlichen
Zahlen eindeutig durchnummerieren so dass eine Bijektion zwischen der
Menge der natürlichen Zahlen und der Menge aller Glieder dieser Folgen
vorliegt.

Ergo:
Das Diagonalargument nach Cantor beweist nicht notwendig, dass die
Kardinalitàt der Menge der reellen Zahlen größer ist wie die
Kardinalitàt der Menge der natürlichen Zahlen.

Mit den besten Grüßen

Albrecht Storz, Mannheim
 

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#1 karl
01/09/2007 - 08:23 | Warnen spam
Albrecht schrieb:
Hallo liebe Mathe-Freunde!


Ergo:
Das Diagonalargument nach Cantor beweist nicht notwendig, dass die
Kardinalitàt der Menge der reellen Zahlen größer ist wie die
Kardinalitàt der Menge der natürlichen Zahlen.



Falsch,
fasse alle deine Listen zu EINER EINZIGEN zusammen und verwende dann das
Diagonalargument.

Ciao

Karl

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