Farey-Folgen, das kgV{1,2,...,n} und die Sinusfunktion

08/08/2009 - 23:40 von Peter | Report spam
Ein ganz hübscher Zusammenhang. Ich habe ihn hier kurz beschrieben.

http://www.luschny.de/math/lcm/FareySinLcm.html
 

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#1 Jutta Gut
11/08/2009 - 09:24 | Warnen spam
"Peter" schrieb

Ein ganz hübscher Zusammenhang. Ich habe ihn hier kurz beschrieben.

http://www.luschny.de/math/lcm/FareySinLcm.html



Sehr nett, obwohl ich nicht verstehe, was das Programm macht (was heißt
proc, iquo, break fi?)

Aus deiner Formel

kgV(1,2,...n) = 1/2*(prod_{i el. F(n), 0<i<=1/2} 2*sin(i*pi))^2

kann man ein anderes interessantes Ergebnis ableiten. Wenn n keine Primzahl
oder Prinzahlpotenz ist, ist kgV(1,2,...n) = kgV(1,2,...n-1). Das Produnkt
der Faktoren, die im n-ten Schritt dazukommen, muss also 1 sein. Das heißt
z.B.
n = 6: 2*sin(pi/6) = 1
n = 10: (2*sin(pi/10))*(2*sin(3pi/10)) = 1
n = 12: (2*sin(pi/12))*(2*sin(5pi/12)) = 1
n = 14: (2*sin(pi/14))*(2*sin(3pi/14))*(2*sin(5pi/14)) = 1
n = 15: (2*sin(pi/15))*(2*sin(2pi/15))*(2*sin(4pi/15))*(2*sin(7pi/15)) = 1
...

allgemein:
prod_{z<=n/2, ggT(z,n)=1} (2*sin(z/n*pi) = 1

Die ersten drei Gleichungen kann man noch mit der Hand nachrechnen, aber
dann wird es interessanter. Ist dieser Zusammenhang bekannt?

Grüße
Jutta

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