Faserableitung und Legendre-Transformation

07/05/2010 - 11:42 von odt | Report spam
Ich wundere mich ein wenig über die Terminologie im
Zusammenhang mit der Faserableitung ("fiber derivative")
auf Mannigfaltigkeiten:

In zahlreichen Büchern zur Mechanik findet man die übliche
Definition der Faserableitung FL der Funktion L: TQ->R
als Abbildung von TQ nach TQ*:

FL(v)·w = d/ds|_s=0 L(v+sw) mit v,w aus T_q Q

So weit, so klar. Aber dann folgen Aussagen wie zum
Beispiel "We call FL the Legendre transform." (Marsden,
Ratiu. Introduction to mechanics and symmetry ...)
<URL:http://books.google.com/books?id=I2...">

Ist es sinnvoll, berechtigt oder einfach nur üblich, schon
die Zuordnung zwischen TQ und TQ* (also in der endlichdimensionalen
Mechanik die Zuordnung von q-Punkt und kanonischem Impuls p)
als Legendre-Transformation zu bezeichnen?

Konventionell hatte ich bisher die Legendre-Transformation
als Abbildung zwischen Funktionen(ràumen) verstanden, also
insbesondere zwischen Lagrange-Funktion L und Hamilton-Funktion H.

Bin ich zu kleinlich? Oder entgeht mir etwas Grundlegendes?

Olaf
 

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#1 Arnold Neumaier
07/05/2010 - 12:33 | Warnen spam
Olaf Dietrich wrote:
Ich wundere mich ein wenig über die Terminologie im
Zusammenhang mit der Faserableitung ("fiber derivative")
auf Mannigfaltigkeiten:

In zahlreichen Büchern zur Mechanik findet man die übliche
Definition der Faserableitung FL der Funktion L: TQ->R
als Abbildung von TQ nach TQ*:

FL(v)·w = d/ds|_s=0 L(v+sw) mit v,w aus T_q Q

So weit, so klar. Aber dann folgen Aussagen wie zum
Beispiel "We call FL the Legendre transform." (Marsden,



Gemeint ist wohl entweder:
"We call F the Legendre transform."
oder
"We call FL the Legendre transform of L."

Ratiu. Introduction to mechanics and symmetry ...)
<URL:http://books.google.com/books?id=I2...">

Ist es sinnvoll, berechtigt oder einfach nur üblich, schon
die Zuordnung zwischen TQ und TQ* (also in der endlichdimensionalen
Mechanik die Zuordnung von q-Punkt und kanonischem Impuls p)
als Legendre-Transformation zu bezeichnen?



Zugeordnet werden oben Funktionen auf T^*Q zu solchen auf TQ.


Konventionell hatte ich bisher die Legendre-Transformation
als Abbildung zwischen Funktionen(ràumen) verstanden, also
insbesondere zwischen Lagrange-Funktion L und Hamilton-Funktion H.



Genau. Ist L die Lagrange-Funktion, so ist H:=FL die Hamiltonfunktion.


Arnold Neumaier

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