Fatou-Eigenschaft und Isomorphismen

14/06/2008 - 10:35 von LenaMalina | Report spam
Hallo!

Ich habe zwei Banachverbànde (X, <, |.|) und (Y, <=, ||.||). X sei
isomorph zu Y.
Behauptet wird, dass die schwach-Fatou-Eigenschaft der Norm sich
übertràgt.

schwach-Fatou-Eigenschaft ist:
Wenn A aus nichtneg. Elementen besteht, A aufwàrtsgerichtet und
supA=b, dann gilt:
||b|| <= c sup{||a|| | a aus A}, wobei c>=0 irgend eine Konstante ist.

(ich gehe mal stark davon aus, dass dieses c nicht von A abhàngt,
sonst wàre es ja witzlos).
Es ist übrigens so, dass nicht mal jeder Dedekind-vollstàndiger
Vektorverband schwach-Fatou ist.


Nun meine Überlegungen:
ich nehme an, X ist schwach-Faou. Dasselbe möchte ich nun für Y
zeigen.
Ich nehme eine Teilmenge A von Y, sodass A aus nichtneg. Elementen
besteht, A aufwàrtsgerichtet und supA=b. Ich kann ja davon ausgehen,
dass ||b|| < \infty. Außerdem gilt für alle a aus A: a<=b. Also ||a||
<= ||b||.
<<<< Nun möchte ich ||b|| <= c sup{||a|| | a aus A}. >>>>
Da sup{||a|| | a aus A}<= ||b||, kann das Sup nicht unbeschrànkt
werden und wir laufen nicht Gefahr, dass c immer kleiner wird.
ABER: Warum kann c nicht unbeschrànkt werden? Es kann ja passieren,
dass man An finden kann, für die die Zahl sup{...} gegen 0 geht, wenn
n wàchst. Wie verhindere ich das? ich muss ja jetzt offensichtlich die
Isomorphie zu X ausnutzen. Aber was nutzt mir blosse Isomorphie, so
ganz ohne Ordnung und Isometrie!? (Oder ist hier mit Isomorphie etwa
gemeint, dass es eine ordnungserhaltende oder isometrische Isomorphie
ist?).

Wàre für jeden Hilfe sehr dankbar!
Gruß
Lena
 

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#1 Martin Vaeth
14/06/2008 - 16:26 | Warnen spam
LenaMalina schrieb:

Ich habe zwei Banachverbànde (X, <, |.|) und (Y, <=, ||.||). X sei
isomorph zu Y.
Behauptet wird, dass die schwach-Fatou-Eigenschaft der Norm sich
übertràgt.

Oder ist hier mit Isomorphie etwa
gemeint, dass es eine ordnungserhaltende oder isometrische Isomorphie
ist?



Mit Isomorphie meint man normalerweise immer eine Abbildung,
die alle betrachteten Strukturen erhaelt - also ein ordnungserhaltener
Banachraum-Isomorphismus. Sonst ist die Behauptung falsch.

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