Fermat, neuer Versuch

09/07/2013 - 02:29 von mock | Report spam
Seien im folgenden alle Zahlen natürlich und o. B. d. A. a > b und a, b und c teilerfremd.

a^n-b^n sei c^n

a^n-b^n=(a-b)*sum_[i=0,n-1](a^i*b^(n-1-i))

Beispiel: 279=7^3-4^3=(7-4)*(7^0*4^2+7^1*4^1+7^2*4^0)

Wenn nun

(a^n-b^n)/(a-b)=c^k und a-b=c^(n-k),

beide also einen gemeinsamen Faktor haben, ist

(a^n-b^n)/c^(n-k+1)

auch eine Potenz > 1, wenn n nicht k ist. Das làsst sich weiterführen, so dass a-b=1 sein muss, denn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Potenzen gleichen Grades ergibt wieder eine Potenz gleichen Grades.

Dass a - b = 1 für n > 2 nicht stimmt, ist nach meinem Wissen widerlegt, oder?
 

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#1 Thomas Nordhaus
09/07/2013 - 12:51 | Warnen spam
Am 09.07.2013 02:29, schrieb mock:
Seien im folgenden alle Zahlen natürlich und o. B. d. A. a > b und a, b und c teilerfremd.

a^n-b^n sei c^n

a^n-b^n=(a-b)*sum_[i=0,n-1](a^i*b^(n-1-i))



Diese Zerlegung ist altbekannt und funktioniert für ungerades n.
Üblicherweise schreibt man die Fermatsche Vermutung aber in der Form c^n
= a^n + b^n. Dann gilt:

a^n+b^n = (a+b)*sum [i=0,n-1] (-1)^(n-1-i) * a^i * b^(n-1-i).


Beispiel: 279=7^3-4^3=(7-4)*(7^0*4^2+7^1*4^1+7^2*4^0)

Wenn nun

(a^n-b^n)/(a-b)=c^k und a-b=c^(n-k),



Wie folgerst du dies? Aus M*N = c^n folgert doch nicht, dass M von der
Form c^k und demzufolge N von der Form c^(n-k) ist. Gegenbeispiel: M*N =
6^3. M=3*2^2, N=2*3^2.


beide also einen gemeinsamen Faktor haben, ist

(a^n-b^n)/c^(n-k+1)



Dies wàre demnach gleich c^(k-1).


auch eine Potenz > 1, wenn n nicht k ist. Das làsst sich weiterführen, so dass a-b=1 sein muss, denn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Potenzen gleichen Grades ergibt wieder eine Potenz gleichen Grades.




Ich muss zugegeben, dass mir das zu vage ist. Was verstehst du unter
"die Differenz zweier aufeinanderfolgender Potenzen gleichen Grades". So
etwas wie 3^3-2^3 = 19? Das kanns nicht sein.

Dass a - b = 1 für n > 2 nicht stimmt, ist nach meinem Wissen widerlegt, oder?



Hmmm. Du meinst man kann direkt (ohne Annahme der Fermatschen, inzw.
bewiesenen, Vermutung)zeigen dass (b+1)^n - b^n keine nte Potenz sein
kann für n>2? Ich habe keine Ahnung. Wenn man es ausrechnet erhàlt man
für die Differenz den Ausdruck:

n*b^(n-1) + (n 2)*b^(n-2) + (n 3)*b^(n-3) ... + n*b + 1.
(lies (n k) = "n über k")

Da sehe ich nicht wie man die Möglichkeit einer nten Potenz so ohne
weiteres ausschließen könnte.

Es gibt das schöne aber schwierige) Buch von Harold M. Edwards "Fermat's
Last Theorem - A Genetic Introduction To Algebrais Number Theory". Dort
ist die Geschichte der Versuche zur Lösung beschrieben. Mit Hilfe der
von dir beschriebenen Zerlegung (bzw. Varianten dieser Form) konnte man
die Fàlle n=3,4,5,7 abhandeln. Die nàchste Idee von Lamé war dann
folgende Zerlegung:

a^n+b^n =(a+b)(a+r*b)(a+r^2*b)...(a+r^(n-1)*b) wobei r eine komplexe
Zahl mit der Eigenschaft r^n=1 ist. Raffiniert. Aber leider ist es auch
hier ein Trugschluss zu folgern dass die einzelnen Klammern n-te
Potenzen sein müssen, vorausgesetzt die Klammerausdrücke sind
teilerfremd. Das wurde auf einem mathematischen Kongress 1847
ausdiskutiert unter Mitwirkung aller mathematischen Größen dieser Zeit
(u.a. Cauchy und Liouville).

Immer wieder hat man diese Idee versucht mittels Verfeinerung zu retten
aber es nicht völlig geschafft.


Thomas Nordhaus

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