Fermat reloaded

20/05/2013 - 23:52 von Peter | Report spam
a^3 + b^3 = c^3

Es soll nur der Fall für die Potenz 3 betractet werden.

Es soll bewiesen werden, daß c nicht ganzzahlig ist, wenn a und b
ganzzahlig und größer 0 sind.

Zunàchst denken wir uns ein Rechteck C, mit den Seitenlàngen c und c^2
(und der Flàche c^3)
Gleichermassen denken wir uns Rechtecke A und B, jeweils mit den
Seitenlàngen a,a^2 und b,b^2.

Denken wir uns nun A z.B in der linken unteren Ecke von C abgebildet und
B in der rechten oberen Ecke, dann müssen sich A und B überschneiden.

Wenn man sich das auf ein Blatt Papier aufzeichnet, dann kann man die
Schnittflàche S von A und B berechen: S = (c-a-b)(c^2-a^2-b^2)
Gleichermassen kann man die beiden Flàchen berechnen, die nicht in A
oder B enthalten sind.

Daraus ergibt sich die Forderung:
(c-a)(c^2-b^2)+(c-b)(c^2-a^2)+(c-a-b)(c^2-a^2-b^2)=0

Wolfram Alpha rechnet s das in eine alternative Form um:
<http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28c-a%29%28c^2-b^2%29%2B%28c-b%29%28c^2-a^2%29%2B%28c-a-b%29%28c^2-a^2-b^2%29%3D0>

a^3 + 2 a^2 b + 2 a b^2 + b^3 - 2 a^2 c - 2 b^2 c - 2 a c^2 - 2 b c^2 +
3 c^3 == 0

Unter der Voraussetzung a^3+b^3=c^3 làsst sich das vereinfachen zu:

ab(a+b) -a^2*c -a*c^2 - -b^2*c -b*c^2 = 2c^3.

Nimmt man an, daß a,b und c teilerfremd sind, dann ist die linke Seite
nicht ganzzahlig durch c teilbar. Es muss gelten c^3 = a^3+b^3
=(a+b)((a+b)^2-3ab)
Deshalb muss auch c Teiler enthalten, die nicht in (a+b) enthalten sind.

Deshalb gibt es keine ganzzahlige Lösung.

Peter ;-)
 

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#1 Peter
21/05/2013 - 03:19 | Warnen spam
Am 20.05.2013 23:52, schrieb Peter:

Daraus ergibt sich die Forderung:
(c-a)(c^2-b^2)+(c-b)(c^2-a^2)+(c-a-b)(c^2-a^2-b^2)=0



Sorry, kleiner Vorzeichenfehler
Es muss heissen:
(c-a)(c^2-b^2)+(c-b)(c^2-a^2)-(c-a-b)(c^2-a^2-b^2)=0

Und daraus ergibt sich rein garnichts anderes als das ursprüngliche
Problem ;-)

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