Feynmannsches Pfadintegral

13/10/2007 - 17:24 von Michael Noetgen | Report spam
Hallo!

Leider konnte ich im Internet keine anschauliche Einführung in den
Begriff des Feynmannschen Pfadintegrals finden. Ein Kommilitone hat
es mir vor einiger Zeit mal schön einleuchtend erklàrt, ohne groß
mit Formeln um sich zu schmeißen. Im Prinzip hat er nur ein kleines
Bild mit den Wegen gemalt, die ein Teilchen vom Ort A zum Ort B
nehmen kann.

Kann mir das noch einmal jemand in Worten erklàren? Worum geht es
beim Pfadintegral? Was kann man damit machen? Wie ist der Zusammen-
hang zwischen Pfadintegral und Quantenmechanik?

Es wàre toll, wenn einer einen Erklàrungsversuch wagen würde! =)

Vielen Dank schon im voraus!

Ein schönes Wochenende wünscht:
Michael
 

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#1 roland franzius
13/10/2007 - 18:35 | Warnen spam
Michael Noetgen wrote:
Hallo!

Leider konnte ich im Internet keine anschauliche Einführung in den
Begriff des Feynmannschen Pfadintegrals finden. Ein Kommilitone hat
es mir vor einiger Zeit mal schön einleuchtend erklàrt, ohne groß
mit Formeln um sich zu schmeißen. Im Prinzip hat er nur ein kleines
Bild mit den Wegen gemalt, die ein Teilchen vom Ort A zum Ort B
nehmen kann.

Kann mir das noch einmal jemand in Worten erklàren? Worum geht es
beim Pfadintegral? Was kann man damit machen? Wie ist der Zusammen-
hang zwischen Pfadintegral und Quantenmechanik?

Es wàre toll, wenn einer einen Erklàrungsversuch wagen würde! =)




Wenn du die Lösung einer Wellengleichung haben willst, also zB berechnen
willst, was an der amerikanischen, afrikanischen oder europàischen Küste
passiert, wenn der Hang von La Palma zusammenstürzt, so kannst du in
einfachster Nàherung so vorgehen:

Du berechnest die Ausbreitung der Welle in einem schmalen Kanal oder
einer Pipeline auf dem kürzesten Weg von der Quelle zum Aufpunkt. Da es
sich um Wellen handelt, kann es Interferenzen der Phasenlage geben, wenn
verschiedene Wege verschieden lang sind. Also bringt man die Wellen zu
einem festen Zeitpunkt am Zielpunkt mit den Phasenverschiebungen auf
allen beliebigen Wegen zur Interferenz, das ist soetwas wie das
Fermatsche oder Huyghenssche Prinzip.

Solange man nur gerade Wege betrachtet, sieht das ganz einfach aus und
man kann damit zB die Streuung am Spalt einleuchtend erklàren, wenn man
die Welle im Spalt als Quelle der Welle dahinter betrachtet.

Hat man aber zB zwei Spalte oder einen gekrümmten Ozean oder
unterschiedliche ortsabhàngige Brechungsindizes oder variierende
Ozeantiefen, funktioniert das ganze nur noch, wenn man wirklich für alle
denkbaren Wegtypen, auch die krummen, geknickten, mehrfach im Kreis
laufenden, sowohl Phasenverschiebung wie Amplitudenbeitrag am Ziel
zuordnen kann und sie dort mit Amplitude gewichtet überlagert. Man muß
sozusagen Lànge und Querschnitt aller irgendwie beteiligten
Übertragungspipelines in invarianter Weise spezifizieren.

Das versucht das Feynmanintegral, es definiert ein fiktives
Integrationsmaß, dass das Gewicht aller Wege mit gleicher
Phasenverschiebung ausdrückt.

Mathematisch ist die Menge aller Wege mit definierbarer Lànge in fester
Zeit von A nach B nicht mit einem unzweideutigen Maß ausgerüstet. Die
Physiker behelfen sich deshalb mit der Vorstellung, dass fast alle Wege
sehr lang sind und diese Lànge stark variiert, deren Signalbeitràge
daher mit allen Phasen mit etwa mit gleichem Gewicht vorkommen und sich
die Beitràge beinahe aller Wege daher per Interferenz unbeobachtbar
aufheben.

Nur die Wege in der Nàhe der klassischen Teilchentrajektorien liegen in
der Umgebung des Minimums von Weg und Phasenverschiebung und daher
reicht es, bei der Superposition die Wege in deren Umgebung zu betrachten.

Wàhrend der Operatorformalismus der QT im Hilbertraum exakt ist, aber,
außer für quadratische Hamiltonoperatoren, keine exakten Lösungen
bietet, ist das Feynmanintegral unexakt, gestattet aber auf einfache
Weise Umformulierungen der Theorie, weil man mit expliziten
Integralausdrücken und ihren als gültig vorausgesetzen algebraischen
Eigenschaften hantieren kann. Im Fall quadratischer Hamiltonoperatoren
(Oszillatoren, Magnetfeld, Photonen) kann man die Gleichheit der beiden
Ansàtze verifizieren.

Der Operatorformalismus bietet ia als Lösung der Bewegungsgleichungen
nur das mühsame Nebeneinander von einerseits physikalisch motivierten
zeitgeordneten Operatorprodukten etwas zweifelhafer mathematischer
Bedeutung und andererseits der mathematisch kontrollierbaren
normalgeordneten Operatorprodukte, sowie daneben eine rudimentàre
Störungstheorie.

Da die durch den Operatorformalismus definierte Theorie über die
Störungstheorie freier Teilchen hinaus ia undefiniert ist, benutzt man
den Feynmanintegralformalismus als eine Art Korsett: Macht eine an
klassischen Analogien entwickelte Beschreibung als Quantentheorie keinen
Sinn, repariert man das unter Kontrolle des Feynmanintegrals.


Roland Franzius

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