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Fibonacci-Folge mit Todesfällen

22/01/2012 - 12:33 von WM | Report spam
Die Fibonacci-Folge
f(n) = f(n-1) + f(n-2) für n > 2 mit f(1) = f(2) = 1
die erste rekursiv definierte Folge in der Menschheitsgeschichte,
dürfe allgemein bekannt sein.
Ein Pàrchen Kaninchen, das sich ab dem zweiten Lebensmonat einmal
monatlich reproduziert, ergibt ohne Todesfàlle nach 12 Monaten 144
Pàrchen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Nimmt man an, dass sich jedes Pàrchen mit 2 Monaten ein letztes Mal
fortpflanzt und dann stirbt, so erhàlt man eine viel trivialere Folge:
1, 1, 1, ...
Doch die Repràsentanten dieser 1 wechseln. Benennt man sie nach der
etwas ideenlosen aber sehr rationellen Art der Alten Römer, so wird
man Namen wie Prima, Secunda, Tertia, Quarta, Quinta, Sexta, Octavia,
Nona, Decima. usw. wàhlen. (Die alleinige Aufführung der weiblichen
Form erfolgt aus Gründen der Textkürze und stellt keine
Diskriminierung des mànnlichen Geschlechts im Sinne der EU-Richtlinie
2002/73/EG vom 23. 9. 2002 zur Änderung der Richtlinie 76/207/EWG zur
Verwirklichung des Grundsatzes der Gleichbehandlung von Mànnern und
Frauen dar.)

Eine interessantere Folge ergibt sich aber, wenn das Elternpàrchen
unmittelbar nach der Geburt des zweiten Kinderpàrchen stirbt. Dann
gebàren im Monat n nur Pàrchen, die in den Monaten n-2 und n-3 geboren
wurden:
g(n) = g(n-2) + g(n-3).
Die Anzahl f(n) der Pàrchen im Monat n setzt sich zusammen aus den im
Monat n geborenen g(n) und den im Monat n-1 vorhandenen f(n-1),
abzüglich der im Monat n gestorbenen (also im Monat n-3 geborenen):
f(n) = g(n) + f(n-1) - g(n-3) = g(n-2) + f(n-1).
g(n-2) = f(n) - f(n-1)
g(n-2) = g(n-4) + g(n-5)
= f(n-2) - f(n-3) + f(n-3) - f(n-4)
= f(n-2) - f(n-4)
Für n > 4 gilt dann mit f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 2.
f(n) = f(n-1) + f(n-2) - f(n-4)

Die Anzahl der Pàrchen in den ersten 12 Monaten ist
1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21.

Die Folge wàchst zwar langsamer als die ursprüngliche, doch würde auch
hier die Pàrchenzahl ohne natürliche Feinde oder
Ressourcenbeschrànkung jede Schranke übertreffen. Wartet man aleph_0
Tage (oder benutzt den Trick mit jeweils halber Zeit), so sind
unendliche viele Pàrchen vorhanden, also eine namenlose Zahl
allerdings namenloser Kaninchen, denn sie können nicht unterschieden
werden. Alle Altrömischen Namen sind làngst aufgebraucht, und selbst
Peanos neurömische Zahlen S0, SS0, SSS0, ... sind alle schon für
verschiedene verschiedene Pàrchen vergeben. Das ist erstaunlich, zumal
kein Kaninchenpaar aus der ursprünglichen, viel reichhaltigeren Folge
des Leonardo von Pisa (1170 - 1240) auf einen Namen verzichten muss.

Die Mengenlehre lehrt also: Das Kulturgut der Unterscheidbarkeit
unterschiedlicher Gegenstànde durch Symbole oder Gedanken gehört nicht
zu den Gegenstànden von Cantors Paradies. So schließt sich der Kreis.
Namenlose Freude und sonst nichts herrschte auch weiland im ersten
Paradies, bevor Adam begann, allen Tieren Namen zu geben.

Paradiesische Zustànde. - Doch was haben sie mit Mathematik zu tun?

Gruß, WM
 

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#1 WM
23/01/2012 - 09:45 | Warnen spam
On 22 Jan., 12:33, WM wrote:

Für n > 4 gilt dann mit f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 2.
f(n) = f(n-1) + f(n-2) - f(n-4)

Die Anzahl der Pàrchen in den ersten 12 Monaten ist
1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21.



Diese Folge mit Sterbefàllen kommt auch ohne Sterbefàlle
(Schlachtungen) zustande, wenn sich nàmlich jedes Pàrchen nach jeder
Fortpflanzung zwei Monate Pause gönnt, um sich im darauf folgenden
Monat wiederum zu vermehren. Mathematisch besteht jedenfalls kein
Unterschied. Die Mengenlehre liefert in diesem Falle allerdings einen
ganz anderen Grenzwert. Die Grenzmenge der lebenden Kaninchen ist nun
nicht mehr leer, sondern eine unendliche Menge, und jedes Kaninchen
hat einen Namen.

Gruß, WM

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