Folgen von Mengen

17/11/2008 - 05:15 von Frank Buss | Report spam
In einem anderen Thread wurde eine interessante mathematische Definition
angeschnitten, die zumindest für mich neu war, daher möchte ich hier
nochmal einen neuen Thread dazu öffnen. Es geht um Folgen von Mengen und
wie man Grenzwerte darauf definiert. Ich gehe dabei von diesen Definitionen
und Sàtzen hier aus:

http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_...von_Mengen

Betrachten wir nun eine recht einfache Folge:

(M) = ({1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,4} ...)

Oder anders geschrieben:

M_1 = {1}
M_2 = {1,2}
M_3 = {1,2,3}
M_4 = {1,2,3,4}
...

Hierzu ein interessantes Zitat von WM, auf das ich durch Herbert Newman
aufmerksam geworden bin:

| Wenn Du ohne Formalismus nicht verstehst, dass die Vereinigung aller
| M_n ein M_n ist, so tut es mir leid, aber ich kann nicht gegen
| Geisterglauben kàmpfen.

Ich würde hier eher davon ausgehen, daß der Geisterglauben auf Seiten von
WM liegt, da er keinen Formalismus angibt, auf dem seine Behauptung
basiert, also wollen wir das mal ein wenig formaler angehen :-)

Laut dem Wikipedia-Artikel gilt folgendes: Eine Folge von Teilmengen einer
Menge X konvergiert genau dann, wenn es zu jedem x einen Index N gibt, so
dass entweder x \in A_n für alle n>=N oder x otin A_n für alle n>=N gilt
(wobei \in hier "ist Element von" und "otin" "ist nicht Element von"
heissen soll). Das ist ein interessanter Satz und mich würde interessieren,
wie man den anhand der Definition, daß die Folge A_n gegen eine Menge A
konvergiert, falls der Limes inferior und der Limes superior gleich sind,
beweisen kann, aber nehmen wir mal dessen Richtigkeit an. Nun beweisen wir
damit, daß der Limes der Folge M_n für n gegen unendlich gleich |N ist,
also die Menge der natürlichen Zahlen ist.

Wir nehmen also für X |N an. Offensichtlich ist jedes Element der Folge (M)
eine Teilmenge von |N. Zu zeigen ist also noch, daß es für jedes x \in |N
(ich gehe hier davon aus, daß mit "x" ein x \in X gemeint war in dem
Wikipedia-Artikel?) ein N gibt, sodaß x \in M_n, für alle n>=N. Ein solches
N kann direkt angegeben werden: N=x, da leicht zu sehen ist, daß nach
Definition von (M) gilt: x \in M_n für alle n>=x. Somit ist unsere
Behauptung bewiesen.

Ich gehe mal davon aus, daß WM mit "Vereinigung aller M_n" meint, der Limes
der Vereinigung aller M_n, für n gegen unendlich. Da bereits der Limes von
M_n für n gegen unendlich gleich |N ist, kann die Vereinigung aller M_n
nicht eine kleinere Menge ergeben, womit also auch gezeigt ist, daß die
"Vereinigung aller M_n" gleich |N ist. An WM: Falls du mit diesem Beweis
nicht einverstanden bist, beschreibe bitte deine Axiome und führe einen
Beweis, der zu dem Ergebnis kommt, daß die Vereinigung aller M_n nicht
gleich |N ist, oder wiederlege meinen Beweis.

Ich habe noch den Grenzwert einer anderen Folge bewiesen, von der mir
erstmal nicht intuitiv klar war, daß die überhaupt konvergiert:

http://www.frank-buss.de/tmp/kn.pdf

Ich hoffe nicht allzu viele Fehler gemacht zu haben, da ich noch so gut wie
nie etwas exakt bewiesen habe. Insbesondere der Beweis für den limes
superior erscheint mir noch nicht ganz astrein. Wie könnte man den Beweis
einfacher formulieren? Oder überspringe ich vielleicht zuviel Schritte? In
dem Beweis eben von lim M_n (n->infty) = |N habe ich z.B. geschrieben,
"offensichtlich ist jedes Element der Folge (M) eine Teilmenge von |N".
Müsste ich das auch formal beweisen, oder langweilt das Mathematiker nur?

Frank Buss, fb@frank-buss.de
http://www.frank-buss.de, http://www.it4-systems.de
 

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#1 Jan Fricke
17/11/2008 - 08:23 | Warnen spam
Frank Buss wrote:
Ich habe noch den Grenzwert einer anderen Folge bewiesen, von der mir
erstmal nicht intuitiv klar war, daß die überhaupt konvergiert:

http://www.frank-buss.de/tmp/kn.pdf



Fein, Du hast die unendliche Keksdose wieder ausgegraben! Und die ist am
Ende tatsàchlich leer.

Ich hoffe nicht allzu viele Fehler gemacht zu haben, da ich noch so gut wie
nie etwas exakt bewiesen habe.


Ein paar Kleinigkeiten, ($x\in y\in B$), aber ansonsten OK. Der
limsup-Teil geht indirekt einfacher: Sei x im limsup. Dann liegt x in
jedem der U K_m, also auch in U {K_m | m > x}. Widerspruch.


Viele Grüße Jan

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