Fouriertransformation und Distributionen

17/01/2009 - 17:43 von Kay-Michael Voit | Report spam
Hallo,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich Nummer 24 nachrechne?:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kontin...sformation

Natürlich ohne die übrigen zu verwenden, insbesondere nicht 23.

Ich habe schon ein paar Dinge mit partieller Integration versucht, komme
damit aber nicht recht zum Ziel ...

Gruß
Kay
 

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#1 Hendrik van Hees
18/01/2009 - 10:39 | Warnen spam
Kay-Michael Voit wrote:

Hallo,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich Nummer 24 nachrechne?:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kontin...sformation



Das scheint mir ein bißchen ungenau zu sein sein. In Formel 24 sollte
beim ersten Term vermerkt sein, daß das Integral darüber als Hauptwert
zu nehmen ist.

Dann verwendest Du die Formel

P/om-pi i delta(om)=1/(x-i 0^+)

Dann kannst Du das Fourierintegral mit dem Residuensatz berechnen, also

f(t)=int d om exp(i om t)/(om-i 0^+)

Um den Residuensatz anzuwenden, mußt Du den Integrationsweg schließen,
das geht durch einen groß gedachten Halbkreis. Damit der nichts zum
Integral beitràgt, mußt Du ihn für t>0 in die obere Halbebene legen.
Dann ist noch zu beachten, daß Dein Integrationsweg im
Gegenuhrzeigersinn làuft. Der Pol liegt wegen des i0^+ im Nenner in
dieser oberen Halbebene, so daß Du also

f(t)=2 pi i (t>0)

erhàltst.

Ist t<0, mußt Du den Halbkreis in die untere Halbebene legen, und da
umschließt er keinen Pol des Integranden, also

f(t)=0 für (t<0).

Folglich ist

f(t)=2 pi i Theta(t)

Jetzt müssen wir noch die Faktoren hinbiegen, so daß Du also schließlich

\tilde{Theta}(om)=-i/sqrt(2 pi) 1/(om-i 0^+)
=-i/sqrt(2 pi) [P/om+i pi delta(om)]

und das ist gerade die besagte Formel (24).

Das ist alles freilich formal. Genauer genommen müßte man die
Distributionen erst regularisieren, dann die Fouriertransformation
ausführen und dann den der Regularisierung entsprechenden Limes
betrachten.

==
Hinweis für Physiker: Es gibt beliebig viele Konventionen für die
Fouriertransformation. In der Quantentheorie definiert man Hin- und
Rücktransformation sinnvollerweise mit den umgekehrten Vorzeichen in
der Exponentialfunktion. Deshalb taucht dann die Funktion

i/sqrt(2pi) 1/(om+i 0^+)

als Fouriertransformierte von Theta(t) auf.


Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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