A. Fraenkel: Erwiderung auf P.W. Bridgman

25/09/2015 - 18:27 von WM | Report spam
"Der Nachweis transzendenter Zahlen durch das Diagonalverfahren erfolgt auf streng konstruktivistischem Weg, und er ist sinnvoll und beweiskràftig für jeden (auch intuitionistischen) Standpunkt, der überhaupt einer der üblichen Zuordnungsregeln zwischen den algebraischen und den natürlichen Zahlen einen Sinn zuerkennt. In der Tat: Bleiben wir bei der oben auseinandergesetzten Auffassung, wonach eine reelle Zahl gegeben - und zwar offenbar konstruktiv gegeben - ist, sobald eine Regel vorliegt, die ihre Dezimalbruchentwicklung so weit als gewünscht zu bilden gestattet!
[...] Wenn wir also [...] einen eindeutig bestimmten, Stelle für Stelle berechenbaren Dezimalbruch durch eine Regel angegeben, die die r-te Ziffer d_r als von c_r verschieden festsetzt, so erhalten wir eine reelle Zahl, die konstruktiv festgelegt und von jeder algebraischen Zahl verschieden ist. Wir haben damit eine ganz bestimmte transzendente Zahl konstruiert."

A. Fraenkel: "Zum Diagonalverfahren Cantors", Fundamenta Mathematicae
25 (1935) 45-50. Erwiderung auf P.W. Bridgman: "A physicist's second
reaction to Mengenlehre", Scripta Mathematica, Vol. II, 1934.

Wir haben natürlich keine transzendente Zahl konstruiert! Ein Stelle für Stelle berechenbarer, durch eine Regel angegebener Dezimalbruch, so dass die r-te Ziffer d_r von c_r verschieden ist, ist und bleibt ein Dezimalbruch. Nur der Grenzwert könnte eine transzendente Zahl sein. Aber der wird nicht durch eine unendliche Ziffernfolge, so dass die r-te Ziffer d_r von c_r verschieden ist, definiert, sondern durch eine (oder auch unendlich viele) von abzàhlbar vielen festen Regeln.

Gruß, WM
 

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#1 WM
25/09/2015 - 18:36 | Warnen spam
Am Freitag, 25. September 2015 18:27:57 UTC+2 schrieb WM:
"Der Nachweis transzendenter Zahlen durch das Diagonalverfahren erfolgt auf streng konstruktivistischem Weg, und er ist sinnvoll und beweiskràftig für jeden (auch intuitionistischen) Standpunkt, der überhaupt einer der üblichen Zuordnungsregeln zwischen den algebraischen und den natürlichen Zahlen einen Sinn zuerkennt. In der Tat: Bleiben wir bei der oben auseinandergesetzten Auffassung, wonach eine reelle Zahl gegeben - und zwar offenbar konstruktiv gegeben - ist, sobald eine Regel vorliegt, die ihre Dezimalbruchentwicklung so weit als gewünscht zu bilden gestattet!
[...] Wenn wir also [...] einen eindeutig bestimmten, Stelle für Stelle berechenbaren Dezimalbruch durch eine Regel angegeben, die die r-te Ziffer d_r als von c_r verschieden festsetzt, so erhalten wir eine reelle Zahl, die konstruktiv festgelegt und von jeder algebraischen Zahl verschieden ist. Wir haben damit eine ganz bestimmte transzendente Zahl konstruiert."

A. Fraenkel: "Zum Diagonalverfahren Cantors", Fundamenta Mathematicae
25 (1935) 45-50. Erwiderung auf P.W. Bridgman: "A physicist's second
reaction to Mengenlehre", Scripta Mathematica, Vol. II, 1934.



Vorher, auf S. 47, schrieb Fraenkel schon: "Natürlich ist es oft - bei irrationalen Zahlen in der Regel - unmöglich, die Ziffernfolge der Darstellung einer gegebenen reellen Zahl zu überblicken, und insofern kann allerdings die Operation der Entwicklung nicht 'vollendet' werden. Aber das ist auch für den Beweis gar nicht nötig; es kommt nur darauf an, für jede fragliche reelle Zahl das Gesetz zu haben, das ihre Entwicklung so weit als gewünscht fortzusetzen gestattet, und dies ist, da die Zahlen der abzàhlbaren Ausgangsmenge gegeben [...] sein sollen, jedenfalls erfüllt [...]."

Jede "unvollendete Ziffernfolge" stellt eine rationale Zahl dar. Das Diagonalverfahren beweist lediglich die Unmöglichkeit, alle rationalen oder algebraischen Zahlen als Folge darzustellen.

Auch von den Zahlen der Ausgangsmenge werden lediglich die rationale Anfangsabschnitte verwendet, in keinem einzigen Falle kommt eine periodische Dezimaldarstellung zur Anwendung, geschweige denn eine Darstellung irrationaler Zahlen.

Gruß, WM

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