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Frage zu Darstellungen der Lorentzgruppe im Weinberg

25/02/2009 - 10:31 von Andreas Most | Report spam
Ich erarbeite mir gerade nochmal ein paar Grundlagen und bin im
Weinberg (Quantum Theory of Fields) über eine Unstimmigkeit gestoßen,
die ich mir gerade nicht auflösen kann.

Im Kapitel 2 werden die Generatoren der Lorentzgruppe vorgestellt, wobei
die Operatoren für die Drehungen \vec{J} und Boosts \vec{K} hermitesch
sind.

In Kapitel 5.6 geht es dann um die Darstellungen der Lorentzgruppe,
wobei der (vierdim.) Drehimpulstensor durch Diracmatrizen
ausgedrückt wird:

J_\muu = i/4 [\gamma_mu, \gamma_u]

Hierbei ist jetzt zwar J_i = \epsilon_ijk J_jk hermitesch, aber
K_i = J_0i ist antihermitesch.

Die Zerlegung der Lorentzgruppe in SU(2)xSU(2) passiert dann mit den
Generatoren

A = J + iK und B = J - iK

Als Darstellung mit Diracmatrizen sind sie hermitesch aber eben nicht
als Operatoren. Was übersehe ich hier? (Wichtig ist natürlich nur, dass
J = A + B hermitesch ist.)

Kann mir jemand helfen?

Andreas.
 

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#1 Hendrik van Hees
25/02/2009 - 11:15 | Warnen spam
Andreas Most wrote:


Die Zerlegung der Lorentzgruppe in SU(2)xSU(2) passiert dann mit den
Generatoren

A = J + iK und B = J - iK

Als Darstellung mit Diracmatrizen sind sie hermitesch aber eben nicht
als Operatoren. Was übersehe ich hier? (Wichtig ist natürlich nur,
dass J = A + B hermitesch ist.)

Kann mir jemand helfen?



A und B sind i.a. natürlich nicht hermitesch. Es gibt keine unitàren
endlichdimensionalen Darstellungen der Lorentzgruppe. Der Grund dafür
ist u.a. daß die LG nicht kompakt ist.

Die Darstellung auf Diracspinoren, also (1/2,0) \oplus (0,1/2), ist auch
nicht unitàr. Ausführlicheres dazu findest Du in meinem QFT-Skript in
Anhang B

http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/publ/lect.pdf

Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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