Frage zu Drehmatrizen/Abbildungen

27/01/2010 - 15:33 von Gutknecht Hans | Report spam
Frage zu Drehmatrizen/Abbildungen.

Aufgabenstellung:
Punkt A(4/6)soll mit der Matrix (R)

R ((Wurzel2)/2 -(Wurzel2)/2)
((Wurzel2)/2 (Wurzel2)/2)

um den Ursprung gedreht werden.

Wie gross ist der Drehwinkel phi (phi> 0?)?
Der gedrehte Punkt A' wird nun noch mit 4(phi) weiter gedreht und dann noch
an der x-Achse gespiegelt, so entsteht A''
.
Welche Matrix gehört zu der jenigen Abbildung,die A in A'' abbildet und
welche Koordinaten hat A''?

Mein Loesungsweg ist:
phi = 45 Grad

Frage: Kann ich jetzt nicht direkt mit 5(phi) rechnen => 225 Grad? (es wird
ja schlussenldich 5 mal mit phi gedreht)

225 Grad in die D=Drehmatrize:
D(-(Wurzel2)/2 (Wurzel2)/2)
(-(Wurzel2)/2 -(Wurzel2)/2)

Nun möchte ich die Drehmatrize mit der x-Achse spiegeln:
x-Achsen S=Spiegel-Matize
S(1 0)
(0 -1)

Nun rechne ich M=D*S (M=Endmatrize)
M(-(Wurzel2/2))
((Wurzel2/2))

Nun die Endmatirze mit dem Punkt A(4/6) multiplizerien

A''(4)(-(Wurzel2/2))
(6)( (Wurzel2/2))

A''-2(Wurzel2)
3(Wurzel2)

=> Gemàss Resultat vom Lösungsbuch ist meine Lösung leider falsch.

Richtige Lösung:
=A''Wurzel2
5(Wurzel2)

M(-(Wurzel2)/2 (Wurzel2)/2)
((Wurzel2)/2 (Wurzel2)/2)


Kann mir jemand einen Tipp geben, was ich bei meinem Loesungsweg falsch
mache?

Vielen Dank im voraus!
 

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#1 Rainer Rosenthal
27/01/2010 - 16:56 | Warnen spam
Gutknecht Hans schrieb:
Frage zu Drehmatrizen/Abbildungen.

Aufgabenstellung:
Punkt A(4/6)soll mit der Matrix (R)

R > ((Wurzel2)/2 -(Wurzel2)/2)
((Wurzel2)/2 (Wurzel2)/2)

um den Ursprung gedreht werden.

Wie gross ist der Drehwinkel phi (phi> 0?)?



phi = 45 Grad hast Du unten richtig geschrieben.

Der gedrehte Punkt A' wird nun noch mit 4(phi) weiter gedreht und dann noch
an der x-Achse gespiegelt, so entsteht A''
.
Welche Matrix gehört zu der jenigen Abbildung,die A in A'' abbildet und
welche Koordinaten hat A''?

Mein Loesungsweg ist:
phi = 45 Grad

Frage: Kann ich jetzt nicht direkt mit 5(phi) rechnen => 225 Grad? (es wird
ja schlussenldich 5 mal mit phi gedreht)

225 Grad in die D=Drehmatrize:
D> (-(Wurzel2)/2 (Wurzel2)/2)
(-(Wurzel2)/2 -(Wurzel2)/2)



Korrekt.


Nun möchte ich die Drehmatrize mit der x-Achse spiegeln:
x-Achsen S=Spiegel-Matize
S> (1 0)
(0 -1)




Spiegelungs-Matrix ist korrekt. Aber jetzt kommt es: Du möchtest nicht
"die Drehmatrix mit der x-Achse spiegeln" sondern Du möchtest "nach der
Drehung die Spiegelung durchführen".

Du willst also auf den gedrehten Punkt D(A) noch die Spiegelung anwenden,
womit Du bei A'' = S(D(A)) landest.

Nun rechne ich M=D*S (M=Endmatrize)
M> (-(Wurzel2/2))
((Wurzel2/2))



Hier sind Dir gleich zwei Fehler unterlaufen:
1. Das Produkt D*S der 2x2-Matrizen muss wieder eine 2x2-Matrix sein.
Bitte rechne die mal richtig aus (zur Übung!).
2. Weil Du von A zu S(D(A)) kommen willst, musst Du M=S*D rechnen, also
in anderer Reihenfolge multiplizieren!
Rechne das nach, und Du wirst sehen, dass dieses M genau das ist, was
laut Lösungsbuch herauskommen soll.

Nun die Endmatirze mit dem Punkt A(4/6) multiplizerien

A''> (4)(-(Wurzel2/2))
(6)( (Wurzel2/2))

A''> -2(Wurzel2)
3(Wurzel2)

=> Gemàss Resultat vom Lösungsbuch ist meine Lösung leider falsch.



Das geht nun vollends "into the trousers", denn die falsch berechnete Matrix
ist bei Dir zu einem Vektor geworden, den Du in Deiner Not mittels innerem
Produkt mit dem Vektor A verknüpft hast. Das muss schief gehen.


Richtige Lösung:
=> A''> Wurzel2
5(Wurzel2)

M> (-(Wurzel2)/2 (Wurzel2)/2)
((Wurzel2)/2 (Wurzel2)/2)




Wie gesagt: Rechne M = S * D richtig aus (es muss eine 2x2-Matrix werden)
und multipliziere diese mit Vektor A, rechne also A'' = M*A aus, und alles
wird gut.
Dein Lösungsgedanke war OK, aber beim Matrizen-Multiplizieren brauchst Du
noch Übung.

Mit freundlichem Gruß,
Rainer Rosenthal

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