Frage zu Jordanscher Normalform

29/05/2009 - 08:37 von Felix Bachmann | Report spam
Hallo,

Sei
G € End(V) und d := min{ k : Ker(G^k) = Ker(G^[k+1]) }
Dann gilt
dim Ker(G^d) >= d

Das stammt aus einem Buch der Linearen Algebra (Fischer, 4.6.2). Ein
Beweis wurde nicht gegeben. Ich finde auch keinen. Eher sogar noch einen
Gegenbeweis.

Ist nàmlich G diagonalisierbar mit allen Eigenwerten ungleich Null, so
ist der Kern gleich {0}, und für das oben definierte d gilt d=1. Die
Dimension von diesem Kern ist 0. Also 0>=1.

Was habe ich hier noch nicht verstanden?

Danke.
Gruss Felix
 

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#1 Michael Lange
29/05/2009 - 10:47 | Warnen spam
Hallo Felix,

zunàchst möchte ich vorweg schicken, dass mein Studium mittlerweile recht
lang her ist und ich mich ohne Literatur hier gerade nicht gut informieren
kann (auf die Schnelle).

Du schriebst:

[...]
Sei
G € End(V) und d := min{ k : Ker(G^k) = Ker(G^[k+1]) }
Dann gilt
dim Ker(G^d) >= d

Das stammt aus einem Buch der Linearen Algebra (Fischer, 4.6.2). Ein
Beweis wurde nicht gegeben. Ich finde auch keinen. Eher sogar noch einen
Gegenbeweis.

Ist nàmlich G diagonalisierbar mit allen Eigenwerten ungleich Null, so
ist der Kern gleich {0}, und für das oben definierte d gilt d=1. Die
Dimension von diesem Kern ist 0. Also 0>=1.

Was habe ich hier noch nicht verstanden?


[...]

Du übersiehst, dass Ker(G) echt größer ist als {0}. Nimm mal eine zu
diagonalisierende Matrix mit Eigenwert l. Dann betrachtet man Ker(A-l*E)
mit entsprechender Einheitsmatrix E. SOll heißen, bei deinem Gegenbeispiel
ist die Voraussetzung Ker(G) echt größer als {0} nicht erfüllt.

Wenn mich jetzt nicht noch meine Erinnerung tàuscht, wird sich spàter
zeigen, dass dim Ker(G)=d gilt, wobei dann Ker(G) der Hauptraum zum
entsprechenden Eigenwert ist. Insgesamt ist zu zeigen, dass V direkte Summe
der Hauptràume aller Eigenwerte der Abbildung ist.

Soviel aus der Erinnerung.

Mfg Michael

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