Frage zu Schnittgerade von 2 Ebenen

26/11/2009 - 19:48 von Willimann Hans | Report spam
Hallo.

Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht mehr weiter.

Gegeben:

Ebene E: x - 2y + z + 3=0
Ebene O: x + y - 3z - 2=0

Gesucht:
Schnittgerade der Ebenen E,O

Meine Vorgehen

Annahme z = r

x - 2y + r + 3=0 (1)
x + y -3r -2 =0 (2)

-1(1) + 1(2) (x eliminiert)

y= 4r/3 - 5/3


1(1) + 2(2) (y eliminiert)

x= 5r/3 + 1/3

entsprechend wàre die Schnittgerade

p: ((1/3 + 5r/3) (-5/3 + 4r/3) (0 + 1)) => ist aber leider falsch


Das Resultat sollte sein

p: ((2 + 5r) (3 + 4r) (1 + 3r))

sein.

Was mache ich den falsch bei meiner Berechnung?
 

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#1 Wolfgang Meiners
26/11/2009 - 22:10 | Warnen spam
Willimann Hans schrieb:
Hallo.

Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht mehr weiter.

Gegeben:

Ebene E: x - 2y + z + 3=0
Ebene O: x + y - 3z - 2=0

Gesucht:
Schnittgerade der Ebenen E,O

Meine Vorgehen

Annahme z = r

x - 2y + r + 3=0 (1)
x + y -3r -2 =0 (2)

-1(1) + 1(2) (x eliminiert)

y= 4r/3 - 5/3


1(1) + 2(2) (y eliminiert)

x= 5r/3 + 1/3

entsprechend w�re die Schnittgerade

p: ((1/3 + 5r/3) (-5/3 + 4r/3) (0 + 1)) => ist aber leider falsch



Wenn du oben nachschaust, stellst du fest, dass du von z=r ausgegangen
warst. Dann sollte das in deiner Lösung aber auch auftauchen:

p: ((1/3 + 5r/3) (-5/3 + 4r/3) (0 + r))




Das Resultat sollte sein

p: ((2 + 5r) (3 + 4r) (1 + 3r))

sein.

Was mache ich den falsch bei meiner Berechnung?



Bis auf diesen -eher trivialen- Fehler vermutlich nichts. (Ich habe
jetzt nicht nachgerechnet)

Was du vielleicht noch wissen musst: Die Parameterdarstellung einer
Geraden ist keineswegs eindeutig! Man kann ohne weiteres schreiben:

v = v_1 + lambda*e_1 = v_2 + mu*e_2

Damit das richtig ist, müssen die Vektoren e_1 und e_2 in die gleiche
(oder entgegengesetzte) Richtung zeigen und die Differenz v_1 - v_2
ebenfalls. Mit anderen Worten: Diese Vektoren sind linear abhàngig.

Grüße
Wolfgang

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