Frage zu Wirkung auf Hauptfaserbündel

03/12/2007 - 16:17 von Jonas Werres | Report spam
Hallo,
ich lese gerade Buch-Kapitel "Connections on fibre bundles" (Nakahara).
Schon ziemlich am Anfang stehe ich vor einem Problem:
Sei
- P(M,G) ein Hauptfaserbündel,
- G eine Liegruppe,
- M eine Mannigfaltigkeit,
- R_g die Wirkung von g \in G auf P von rechts in bekannter Weise (wirkt
auf den G-Teil des Tupels, der das Bild der inversen lokalen
Trivialisierung ist, von Rechts).
- A sei aus der Lie-Algebra von G also ein links-invariantes Vektorfeld
im Tangentialraum von G.
- u \in P

Was muss ich mir nun unter
R_{exp(tA)} u
vorstellen? Warum ist exp(tA) überhaupt aus G? Oder ist es das nicht?
Warum darf es dann an der Stelle auftauchen? Habe ich irgendwo einen Knoten?
Das ganze soll eine Kurve in P (mit t parametrisiert) ergeben, anhand
derer eine Ableitung definiert wird. das ist dann wieder relativ klar,
aber der Punkt oben macht mir zu schaffen.

Gruß
 

Lesen sie die antworten

#1 Marc Olschok
03/12/2007 - 21:45 | Warnen spam
Jonas Werres wrote:
Hallo,
ich lese gerade Buch-Kapitel "Connections on fibre bundles" (Nakahara).
Schon ziemlich am Anfang stehe ich vor einem Problem:
Sei
- P(M,G) ein Hauptfaserbündel,
- G eine Liegruppe,
- M eine Mannigfaltigkeit,
- R_g die Wirkung von g \in G auf P von rechts in bekannter Weise (wirkt
auf den G-Teil des Tupels, der das Bild der inversen lokalen
Trivialisierung ist, von Rechts).
- A sei aus der Lie-Algebra von G also ein links-invariantes Vektorfeld
im Tangentialraum von G.
- u \in P

Was muss ich mir nun unter
R_{exp(tA)} u
vorstellen? Warum ist exp(tA) überhaupt aus G? Oder ist es das nicht?



Es ist in G. Ich verstehe leider nicht viel davon, aber exp dürfte
aus der Abbildung R --> L(G) mit t -> tA konstruiert sein,
wobei L(G) die Lie-Algebra von G ist.
Dann kann man sich exp_A: R --> G als einen (infinitesimalen) Pfad
durch A mit Tangentialvektor A an der Stelle 0 vorstellen und
dementsprechend exp: L(G) --> G durch A --> exp_A(1) definieren.

Wie gesagt, alles jetzt etwas schlampig, sollte aber hoffentlich in
jedem Buch über Lie-Gruppen zu finden sein.

Marc

Ähnliche fragen